transformations irréversibles : entropie ; pompe à chaleur concours Mines 05

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On donne les coordonnées du point triple (T_T =217 K ; P_T =510 kPa ) et du point critique (T_C =304 K ; P_C =73 MPa ) du dioxyde de carbone.

Tracer une allure du diagramme (pression, température) pour le dioxyde de carbone, sans chercher à respecter des échelles.

Expliquer à partir de ce diagramme ce qu'on appelle la continuite de l'état fluide. Quel est le phénomène observé au point critique ?

Lorsqu'on met au contact deux systèmes thermodynamiques séparément homogènes et à l'équilibre thermodynamique, on observe transitoirement une discontinuité des grandeurs intensives. Il en est ainsi lors de la detente de Joule Gay-Lussac et lors de la mise au contact de deux corps de températures différentes.

On opère une détente de Joule Gay-Lussac pour une mole de gaz parfait monoatomique de volume initial V, et de température initiale T. Le volume final est V'=3V.

Déterminer, en précisant soigneusement toutes les hypothèses et en détaillant tous les calculs, la variation d'entropie DS de cette transformation et commenter son signe.

Système adiabatique : le transfert thermique Q est donc nul.

Système indéformable : le travail des forces de pression W est nul

en conséquence DU = 0 ; l'énergie interne est constante.

Or l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température : donc T₀=T_f.

L'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que de l'état initial et final.

imaginer une transformation réversible passant de l'état initial à l'état final

transformation élémentaire : dS =dQ/T= (dU-dW)/T = C_{v, m} /T dT+ PdV/T = R/(g-1) /T dT+ RdV/V

intégrer entre T₀ et T_f : DS =C_{v, m} ln(T_f /T₀) + Rln(V_f /V₀) ; DS = Rln(V_f /V₀) = Rln 3= 9,1 J K^-1.

Bilan entropique :

entropie échangée S_e1 = Q/T₀ = 0

entropie créée S_c1 = DS - S_e1 =9,1 J K^-1.
Ce résultat précédent est conforme au second principe de la thermodynamique : la transformation est irréversible, l'entropie créée est positive.

La discontinuité de la pression est la source de l'irréversibilité.

Dans une enceinte adiabatique, on met deux corps indéformables de même capacité calorifique (C ) au contact thermique ; leurs températures initiales respectives sont T₁ et T₂ et on attend l’équilibre thermique (température T).

Déterminer la variation d’entropie de cette transformation et commenter son signe.

Système adiabatique : le transfert thermique Q est donc nul.

Système indéformable : le travail des forces de pression W est nul

en conséquence DU = 0 ; l'énergie interne est constante.

DU = DU₁+DU₂ =CDT₁+CDT₂  =0 d'où DT₁ =- DT₂ ; T-T₁ = -(T-T₂)

d'où T = ½( T₁ +T₂).

L'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que de l'état initial et final.

imaginer une transformation réversible passant de l'état initial à l'état final

transformation élémentaire : dS =dQ₁/T₁+dQ₂/T₂.

Pour des phases condensées : dQ₁=CdT₁ et dQ2₁=CdT₂

dS =C [dT₁/T₁+dT₂/T₂]= C[dlnT₁+d lnT₂]

par intégration entre l'état initial et l'état final : DS = C ln (T/T₁) + C ln (T/T₂) = C ln (T²/(T₁T₂).

DS = C ln[ ( T₁ +T₂)² / (4T₁T₂).

Si T₁=T₂, DS=0 ; si T₁ différent de T₂, ( T₁ +T₂)² / (4T₁T₂) est supérieur à 1 : donc DS>0

Bilan entropique : entropie échangée Se = 0 ( adiabatique) entropie créée Sc = DS - Se =DS, valeur positive si T1 différent de T2. Ce résultat précédent est conforme au second principe de la thermodynamique : la transformation est irréversible, l'entropie créée est positive. La discontinuité de la température est la source de l'irréversibilité.

Pompe à chaleur.

Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversée suivant :

. L'air pris dans l'état A de température T₀ et de pression P₀ est comprimé suivant une adiabatique quasi statique (ou réversible) jusqu'au point B où il atteint la pression P₁.

. Le gaz se refroidit à pression constante et atteint la température finale de la source chaude, T₁, correspondant à l'état C.

L'air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique quasi statique pour atteindre l'état D de pression P₀.

. Le gaz se réchauffe enfin à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial A.

On considère l'air comme un gaz parfait de coefficient isentropique g = 1,4.

On posera b= 1- g^-1 et a = P₁/P₀.

Pour les applications num�Leriques, on prendra :T₀ = 283 K(10 °C), T₁ = 298 K(25°C) ; a = 5, R = 8,31 J K^-1mol^-1 (constante des gaz parfaits).

Représenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron (P, V ).

Exprimer les températures T_B et T_D en fonction de T₀, T₁, a et b. Calculer leurs valeurs.

A-> B : adiabatique réversible. P₀^{1- g} T₀^g = P₁^{1- g} T_B^g

T_B =T₀ [P₀/P₁] ^{(1-g) /g} = T₀ [1/a]^-b ; T_B =T₀ a^b =283 * 5^0,285 = 448 K.

C-> D : adiabatique réversible. P₁^{1- g} T₁^g = P₁^{1- g} T_D^g

T_D =T₁ [P₁/P₀] ^{(1-g) /g} = T₁ a^-b ; T_D =T₁ a^-b =298 * 5^-0,285 = 188 K.

e = énergie prélevée à la source chaude / travail investi = -Q_BC/W_cycle.

Montrer qu’elle s’exprime seulement en fonction de a et b.

DU_cycle =0 ; DU_cycle =W_cycle+ Q_BC + Q_DA.(1)

Q_AB= Q_CD=0 (adiabatiques)

Q_BC = c_P(T_C-T_B) = c_P(T₁-T_B) ; Q_DA = c_P(T_A-T_D) = c_P(T₀-T_D). (2)

(1) donne : e = Q_BC/(Q_BC + Q_DA) = 1/(1+Q_DA/Q_BC]

(2) donne : Q_DA/Q_BC =(T₀-T_D) / (T₁-T_B)

Or T_B =T₀ a^b et T_D =T₁ a^-b

d'où : (T₀-T_D) / (T₁-T_B) =(T₀-T₁ a^-b) / (T₁-T₀ a^b ) = a^-b (T₀ a^b-T₁)/ (T₁-T₀ a^b ) = -a^-b

par suite : e = 1/(1-a^-b)

Calculer sa valeur.

e = 1/(1-5^-0,285)=2,7.

Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe à chaleur suivant un cycle de Carnot réversible entre les températures T₀ et T₁ ?

Le cycle de Carnot compend deux adiabatiques réversibles et deux isothermes réversibles ( thermostas aux températures T₀ et T₁).

Etablir l’expression de son efficacité e_C.

DU_cycle =0 ; DU_cycle =W_cycle+ Q_BC + Q_DA.

La variation d'entropie est nulle sur le cycle réversible : Q_BC /T₁ + Q_DA/T₀ =0

Q_DA/Q_BC = -T₀ /T₁ et e_C = 1/(1-T₀ /T₁).

Calculer sa valeur.

e_C= 1 / (1-283/298) =19,9.

Comparer les valeurs obtenues pour e et e_C. Interpréter la différence observée.

L'efficacité d'un cycle réversible (Carnot) est supérieure à celle d'un cycle irréversible (Joule).

Sur le cycle la variation d'entropie est nulle DS=0.

Or DS = S_é + S_c d'où : S_c = -S_é = -Q_BC /T₁ - Q_DA/T₀.

Or Q_BC =c_P(T₁-T_B) ; Q_DA = c_P(T₀-T_D).

et T_B =T₀ a^b ; T_D =T₁ a^-b

S_c = -c_P [1-T₀/T₁a^b +1-T₁ /T₀a^-b] = -c_P [2-x-1/x]

De plus c_P=gR/(g-1) = R/b.

S_c = R/b [x+1/x-2].

Etudier le signe de cette expression pour x positif ou nul.

x+1/x-2 = (x²-2x+1 )/x =(x-1)²/x

expression toujours positive si x >0 ; expression nulle si x=1.

Calculer sa valeur.

x= 283/298*5^0,285 =1,50 ; S_c=8,31*1,4/0,4 *0,5²/1,5 = 4,84 J K^-1 mol^-1.

La pompe à chaleur envisagée est utilisée pour chauffer une maison.

Sachant qu'en régime permanent les fuites thermiques s'élèvent à Q_f = 20 kW,

calculer la puissance mécanique du couple compresseur-turbine qui permet de maintenir la maison à température constante.

P = Q_f/e = 20 / 2,7 = 7,4 kW.