Aurelie 03/ 02
pendule, période, énergie

Concours kiné 01 Ceerrf

suite --> sphère chargée

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Soit un pendule simple constitué d'un fil inextensible de longueur l0 et d'un objet supposé ponctuel de masse m= 200g dans le champ de pesanteur de valeur g. Ce pendule oscille à l'altitude z0=0 avec une période T0=2s. Au niveau de la mer g0=10 ms-2.

Données : Rayon de la terre : R=6400 km ; gz / g0 = 1 - 2z /R. On admet que : (1+ e)0,5 = 1+0,5e. pour e petit devant 1.

  1. Montrer que l0=1 m.
  2. On suppose que le pendule est placé à l'altitude z = 64 km. Exprimer puis calculer la nouvelle longueur l1 lui permettant de conserver sa période propre T0.
  3. La longueur est de nouveau l0=1m. Calculer l'altitude z à laquelle se trouve le pendule pour que sa période propre augmente de 0,01 s.
  4. On ramène le pendule au niveau de la mer et on le lance à partir de sa position d'équilibre q0=0 avec une vitesse angulaire initiale w0 = 1 rad/s.
    -Exprimer puis calculer la hauteur maximale h par rapport à sa position d'équilibre, à laquelle la masse m remonte.
    - Exprimer puis calculer l'élongation angulaire maximale qm.
    - Exprimer la valeur de la tension T du fil au cours des oscillations en fonction de m, l0, g0, q, et dq/dt.
    - Calculer la valeur de la tension pour q =0 et qm. 
corrigé
période du pendule T= 2p racine carrée (l0/g)

d'où l0 = T² g / (4p²) = 4*10 / (4*3,14²) = 1 m.

longueur à l'altitude z = 64 km :

gz = g0 ( 1 - 2z /R) = 10*(1 - 2*64 / 6400) = 9,8 m/s².

lz = T² gz / (4p²) = 4*9,8 / (4*3,14²) = 0,98 m.

période T= 2,01 s à l'altitude z :

T = 2,01 s ; l0 = 1m ; T= 2p racine carrée (l0/gz)

gz = 4p² l0 /T² = 4*3,14²*1 / 2,01² = 9,76 m/s²

de plus gz = g0 ( 1 - 2z /R)

d'où : 1- 2z /R= gz / g0 soit (1 -gz / g0 )R = 2z

z = ½( 6400) ( 1 - 9,76 /10) = 76,8 km.

altitude maxi atteinte :

écrire le théorème de l'énergie cinétique entre le départ A et l'arrivée B.

seul le poids travaille (la tension du fil est constamment perpendiculaire à la vitesse)

le travail du poids est résistant lors d'une montée :

W( poids )A-->B = -mg h = - mg L(1 -cosq)

variation d'énergie cinétique : 0- ½mv²B avec vB = w0 L = 1 m/s

- ½mv²B = - mg h soit h = v²B / (2g) = 1 / 20 = 0,05 m.

h = L-L cos q d'où cosq = 0,95 et q = 18,2°.

tension :

écrire la seconde loi de Newton dans la base de Frenet :

q = 0 alors T = m(g + w0²L )

T = 0,2(10+1) = 2,2 N.

q = 18,2° alors T = m(g cos 18,2+ w²L )

T = 0,2(10*0,95+0) = 1,9 N.
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