Aurélie oct 2001
pendule

concours kiné A P Paris /01.


exercices suivant : radioactivité

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Un solide ponctuel de masse m est suspendu à un fil métallique OA de longueur l et de masse négligeable. L'ensemble oscille dans un plan vertical. A un instant on lance le solide vers le bas avec un vecteur vitesse V0, alors que le solide est écarté de sa position d'équilibre d'un angle q0. V0 est perpendiculaire à la direction du fil.

Toute l'étude sera faite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. La rotation de la terre est négligée.

Période du pendule :

  1. Donner l'expression de la période propre du pendule au niveau du sol. Le pendule bat la seconde au niveau du sol. Quelle est la valeur de T0.
  2. Donner une estimation de la valeur de la longueur du fil lorsque le pendule bat la seconde en un lieu où l'intensité de la pesanteur vaut g0=9,8 m/s².
  3. Quelle serait la période de ce pendule transporté en un lieu où l'intensité de la pesanteur devient g=g0/4.
  4. On imagine que ce pendule est transporté dans une station orbitale située à l'altitude z.
    -A partir de la loi de gravitation de Newton établir l'expression du champ de pesanteur g à l'altitude z en fonction de g0, z et R rayon terrestre. Retrouver l'expression approchée de g lorsque z est petit devant R mais non négligeable.
    - Donner l'expression de la nouvelle période propre T du pendule dans la station orbitale en fonction de z, T0, R lorsque z est petit devant le rayon terrestre. En déduire le rapport (T-T0)/T0 en fonction de z et R.
    - Le pendule est le balancier d'une horloge : l'horloge ayant été réglé au sol, observera t'on un retard ou une avance de l'horloge. Justifier.

corrigé

si le pendule bat la seconde, alors la période est T0=2s.

l =T0² g / (4p²) = 4 *9,8 / (4*3,14²) = 0,994 m.

dans l'expression de la période g intervient au dénominateur : si g diminue alors T augmente

g figure sous le radical: si g est divisé par 4, alors la période double.


expression de g :

expression de g au niveau du sol, altitude zéro: (G est la constante de gravitation, M la masse de la terre et R le rayon terrestre)

g0 = GM / R² ou encore GM=g0R².

expression de g à l'altitude h: g= GM / (R+h)² = g0R² / (R+h)²

on divise par R² numérateur et dénominateur:

onutilise le résultat ( 1 +e)n voisin de 1+ne si e petit devant1.

expression de la nouvelle période:

T est supposée proche de T0 donc T+T0 voisin de 2T0.

T² / T0² -1 = 2h/R

(T²-T0²) / T0² = 2h / R

(T-T0)(T+T0) / T0² voisin de 2 (T-T0) /T0 = 2h / R soit (T-T0) /T0 =h / R.

h/R est positif, donc T est plus grand que T0 : l'horloge retarde.


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