Aurélie 03/03
circuit RC, méthode d'Euler

d'après kiné Hte Normandie 03

suite --> oxydo-réduction


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Données : R= 1 kW ; E=10 V ; C= 1 mF.

On réalise la charge d'un condensateur de capacité C en le montant en série avec un conducteur ohmique de résistance R et un générateur de force électromotrice E.. Le condensateur est initialement déchargé et à t=0 on commence la charge

.

 

  1. Reproduire le schéma en fléchant les tensions uPN, uPA, uNB
    -- Exprimer la relation liant ces tensions.
    - En déduire l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la tension uC=uPA aux bornes du condensateur.
  2. Nous allons déterminer par le calcul l'évolution de cette tension uC à des intervalles de temps dt = 10-4 s.
    - A t=0 que vaut uC ?
    - Exprimer de façon générale la dérivée de uC par rapport au temps duC / dt en fonction de E, uC, R et C. En déduire la valeur initiale duC / dt (t=0) de cette dérivée.
    - Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous en complétant la première colonne.
    t(s)
    0
    10-4
    2 10-4
    3 10-4
    4 10-4
    uC

    duC / dt

    La méthode d'Euler permet par itérations successives de calculer uC aux différentes dates du tableau. On a en effet uC(t+dt) = uC(t) + duC.
    Il suffit de calculer duC pendant une durée suffisamment petite devant la durée totale du phénomène.
    - Effectuer en détail sur votre copie le calcul de uC (0+dt) puis de duC / dt (0+dt) pour la date t=0+dt = 10-4 s. Finir de compléter le tableau.
    - tracer grâce aux valeurs du tableau la courbe uC=f(t). Echelle 1cm pour 10-4s et 1 cm pour 1V.
    - Tracer sur ce graphe la tangente à la courbe à t=0 : duC / dt (0).
    - Prolonger en pointillé ce graphe en imaginant l'évolution temporelle de uC après un temps suffisamment long. Mentionner toute valeur utile à la compréhension de votre travail.

 


corrigé

UNB= -UBN= -Ri = UNP +UPA+UAB

-Ri = -E + UC +0 avec i = dq/dt = CdUC/dt = Cu'C.

-RCU'C = -E + UC ou RCU'C + UC =E

U'C + 1/(RC) UC =E / (RC) avec RC = 103*10-6 = 10-3 s-1.

dUC/dt + 103 UC = 103E = 104.

or dt = 10-4 s soit dUC=1-0,1UC.(1).

à t=0 : UC=0 (condensateur non chargé) ; dUC=1 et dUC/dt(t=0)= 1 / 10-4 = 104Vs-1.

UC(0+dt) = UC(t=0) + dUC=0+1 =1.
t(s)
0
10-4
2 10-4
3 10-4
4 10-4
uC(V)
0
1
1,9
2,71
3,44
duC / dt (Vs-1)
104
9 103
8,1 103
7,3 103
6,56 103
à t=10-4 s : UC=1; dUC=1-0,1*1 = 0,9 et dUC/dt= 0,9 / 10-4 = 9 103Vs-1.

UC(2 10-4) = UC(10-4) + dUC=1+0,9 = 1,9 V.


à t=2 10-4 s : UC=1,9; dUC=1-0,1*1,9 = 0,81 et dUC/dt(= 0,81 / 10-4 = 8,1 103Vs-1.

UC(3 10-4) = UC(2 10-4) + dUC=1,9+0,81 = 2,71 V.


à t=3 10-4 s : UC=2,71; dUC=1-0,1*2,71 = 0,73 et dUC/dt= 0,73 / 10-4 = 7,3 103Vs-1.

UC(4 10-4) = UC(3 10-4) + dUC=2,71+0,73 = 3,44 V.


à t=4 10-4 s : UC=3,44; dUC=1-0,1*3,44 = 0,656 et dUC/dt = 0,656 / 10-4 = 6,56 103Vs-1.

UC(5 10-4) = UC(4 10-4) + dUC=3,44+0,656 = 4,1 V.

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