Aurélie 05/02

satellites de Jupiter

Pondichéry 04/ 02

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Données :

Galilée commença à observer la planète Jupiter en janvier 1610 avec une lunette de sa fabrication. Il découvrit qu'autour de Jupiter tournaient quatre lunes auquelles il donna le nom d'astres médicéens; ce sont quatre satellites de Jupiter : Io, Europe, Ganymène et Callisto.

G constante de gravitation universelle = 6,67 10-11 SI

masse de Jupiter MJ = 1,9 1027 kg ; rayon de Jupiter RJ= 7,15 104 km ;

période de rotation de Jupiter sur elle même : TJ= 9 h 55 min

Masse du satellite Europe (noté E) : ME ; Rayon de l'orbite du satellite Europe : rE= 6,7 105 km

Période de révolution du satellite Europe autour de Jupiter : TE= 3 j 13 h 14 min.

Tous les corps seront supposés à répartition de masse à symétrie sphérique et on supposera que chaque satellite n'est soumis qu'à l'influence de Jupiter.

partie 1 : les vecteurs sont notés en bleu et en gras.

  1. Représenter sur un schéma la force de gravitation F J-->E exercée par Jupiter sur Europe et celle FE-->J exercée par Europe sur Jupiter.
    - Donner l'expression vectorielle de F J-->E , les centres des deux astres étant séparés d'une distance d.
  2. Définir un mouvement uniforme.
    - Le mouvement du satellite Europe ( noté E) est étudié dans le référentiel " jupiterocentrique". Par analogie avec le référentiel géocentrique, donner les caractéristiques d'un référentiel jupiterocentrique.
    - Montrer que le mouvement du satellite Europe en orbite circulaire est uniforme dans le référentiel jupiterocentrique.
    - Comparer les vecteurs vitesses V1 et V2 et les vecteurs accélération a1 et a 2 du satellite aux points E1 et E2.
    - Représenter ces vecteurs.

partie 2 :

  1. Etablir que la valeur de la vitesse du satellite de Jupiter est V² = GMJ / r où r désigne le rayon de l'orbite du satellite.
  2. En déduire l'expression de la période T de révolution du satellite en fonction de G, MJ et r.
  3. Montrer que le rapport T2 / r3 est constant pour les différents satellites de Jupiter. ( ce résultat correspond à la troisième loi de Kepler).
    - La période de révolution de Io autour de Jupiter est TIo = 1 j 18 h 18 min. Thébé, un autre satellite de Jupiter, possède une orbite de rayon moitié de l'orbite de Io. Déterminer la période de révolution Tth de Thébé autour de Jupiter.
  4. Par analogie avec la définition d'un satellite géostationnaire, un satellite jupiterostationnaire est un satellite fixe par rapport à Jupiter. Europe est-il jupiterostationnaire ? Justifier sans calculs à l'aide des données.

 


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corrigé


mouvement uniforme : la norme du vecteur vitesse est constante.

Un référentiel Jupiterocentrique est centré sur Jupiter et les trois axes pointent vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.

Ecrire la 2 ème loi de Newton dans la base de Frenet :

Europe n'est soumis qu'à la force de gravitation attractive exercée par Jupiter et dirigée vers le centre de Jupiter ( pas de composante tangentielle)


satellite aux points E1 et E2 :

Les vecteurs vitesses V1 et V2 ( V² = GMJ/ r) ont même norme mais des directions différentes

Les vecteurs accélération a1 et a 2 ( a = V² / r) ont même norme mais des directions différentes


période de révolution T :

durant une période T le satellite décrit une circonférence de rayon r à vitesse constante V :

2pr = V T soit 4p² r² = V² T²

remplacer V² par GMJ/ r d'où : 4p² r² = GMJ/ r

soit T² / r3 = 4p² / (GMJ) rapport constant pour une planète donnée.

Io / R3Io = T²Th / R3 Th soit T²Th =T²Io R3 Th / R3Io .

R3 Th / R3Io = (0,5 RIo )3 / R3Io = 0,53 = 0,125

Th = 0,125 T²Io soit TTh = 0,354 TIo

mettre TIo en minutes : 24*60 +18*60+18 = 2538 min

TTh = 0,354*2538 = 896 min = 14 h 56 min.


jupiterostationnaire :

un satellite juputérostationnaire doit se trouver dans le plan équatorial de Jupiter

il doit tourner dans le même sens que Jupiter

sa période doit être égale à celle de Jupiter

TE est différent de TJ : donc Europe n'est pas jupiterostationnaire.





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