Aurélie 05/02

étude d'un oscillateur mécanique

Nlle Calédonie 11/ 01 (sans calculatrice)

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On considère un ressort à spires non jointives d'axe horizontal, de raideur k. L'extrémité A du ressort est fixe. Un solide S, de masse m = 250 g, est accroché à l'autre extrémité du ressort et se déplace sans frottement sur un banc à coussin d'air horizontal

La masse du ressort est négligeable devant m. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide, dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. On repère la position de G par son abscisse x sur un axe horizontal x'x d'origine O :

le point O correspond à la projection de la position de G à l'équilibre.

Etude théorique :

  1. En appliquant le théorême du centre d'inertie, établir l'équation différentielle admettant x(t) comme solution.
  2. En déduire l'expression de la pulsation propre w0 en fonction des caractéristiques de l'oscillateur.
  3. Une solution de l'équation différentielle précédente peut être écrite sous la forme : x(t) = Xm cos( 2p/T0 t + j ) dans laquelle Xm est l'amplitude du mouvement et j la phase à l'origine des dates.
    - En déduire l'expression littérale de la coordonnée vx du vecteur vitesse du point G en fonction du temps.
    -Donner les expressions littérales de l'abscisse x(0) et de la coordonnée vx(0) à l'origine des dates, en fonction de Xm, T0 et j.

Etude expérimentale :

Deux expériences notées 1 et 2 ont été réalisées, avec le même solide S. Pour chaque expérience, l'origine des dates coïncide avec l'instant où le solide S est abandonné ou lancé, après avoir été écarté de sa position d'équilibre. A chaque expérience correspond un enregistrement ; les figures ci dessous donnent les variations de x en focntion du temps t. Le numéro de la figure est identique à celui de l'expérience.

 

  1. A partir des enregistrements des figures 1 et 2, traiter sans justification, les questions ci-dessous en reportant les réponses dans le tableau ci dessous :
    expérience
    1
    2
    T0
    .....................
    .......................
    Xm


    x(0)


    vx(0)


    ressort



    - Déterminer les valeurs de T0, Xm et x(0).
    - Déterminer si vx(0) est nulle, positive ou négative.
    - Parmi les termes suivants, choisir, sans justification, ceux qui décrivent les conditions initiales relatives au ressort : comprimé, étiré ou non déformé.
  2. Justifier que l'enregistrement de la figure 2 ci-dessus a été obtenu en utilisant le même ressort que celui de l'expérience 1.
  3. On désigne par Em l'énergie mécanique du système {ressort + solide + Terre} (système encore noté {ressort + solide} dans le champ de pesanteur). L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G.
    - Etablir l'expression littérale de Em en fonction de l'amplitude Xm.
    - On désigne par Em1 et Em2 l'énergie mécanique du système respectivement pour les expériences 1 et 2. Parmi les propositions suivantes, choisir, en justifiant, celle qui convient : Em2 / Em1 =1 ; Em2 / Em1 =2 ; Em2 / Em1 =4
  4. Comparer, sans les calculer numériquement, les énergie potentielles élastiques Ep1(0) et Ep2(0) du système {ressort + solide + Terre} à la date t0 = 0 s pour ces deux enregistrements. Justifier la réponse.
 


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corrigé
avec
w0² = k/m

vitesse : dérivée de l'abscisse par rapport au temps

x(t) = Xm cos( 2p/T0 t + j )

vx(t) = - Xm 2p/T0 sin( 2p/T0 t + j )

x(0) = Xm cos( j )

vx(0) = - Xm 2p/T0 sin( + j )


expérience
1
2
T0
2 s
2 s
Xm
2 cm
4 cm
x(0)
2 cm
-2 cm
vx(0)
0
positive
ressort
étiré
comprimé
les deux enregistrements ont été effectués avec le même système {ressort + masse }car la période est la même : la période ne dépend que de la raideur du ressort et de la masse accrochée à ce ressort. Par contre les conditions initiales étaient différentes.

énergie mécanique = énergie potentielle + énergie cinétique

Em = ½kx² + ½mv²

Em = ½kX²m cos²( 2p/T0 t + j ) + ½m m [2p/T0 ]² sin²( 2p/T0 t + j )

or m [2p/T0 ]² = m w0² = k

Em = ½kX²m cos²( 2p/T0 t + j ) + ½ k X²m sin²( 2p/T0 t + j )

Em = ½kX²m [cos²( 2p/T0 t + j ) +sin²( 2p/T0 t + j )]=½kX²m.

l'amplitude Xm2 ( expérience 2) est le double de l'amplitude Xm1 ( expérience 1) l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude : donc Em2 / Em1 =4.

l'énergie potentielle est proportionnelle au carré de l'abscisse : Ep = ½kx²

or à t=0 , dans les deux expériences l'abscisse initiale a même valeur absolue : |x1(0) |= |x2(0) | =0,02 m

donc Ep1(0) = Ep2(0).





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