Aurélie 06/03

pile et condensateur ; autour du radium France 03




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On souhaite réaliser une pile au laboratoire. Pour cela, on dispose d'une lame de zinc et d'une lame de cuivre ainsi que d'un volume V1 = 100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de zinc de concentration molaire en soluté apporté C1 = 1,0 mol.L-1 et d'un volume V2 = 100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de cuivre de concentration molaire en soluté apporté C2 = 1,0 mol.L-1 et d'un pont salin.

L'expérience est réalisée à la température de 25 °C. A cette température, la constante d'équilibre associée à l'équation :

Cu2+ + Zn (s)= Cu(s) + Zn2+ ; est K=4,6 1036.

La pile ainsi réalisée est placée dans un circuit électrique comportant une résistance et un interrupteur. On ferme ce circuit électrique à l'instant de date t0 = 0 s.

  1. Faire un schéma légendé de cette pile. Compléter le schéma avec la résistance et l'interrupteur.
    - Déterminer le quotient de réaction Qr, i du système ainsi constitué à l'instant de date t0. En déduire le sens d'évolution spontanée du système.
    - Pour chaque électrode, écrire la demi-équation correspondant au couple qui intervient.
    - En déduire, en justifiant la réponse, à quel métal correspond le pôle + de la pile et à quel métal correspond le pôle -.
    - D'après la théorie, on considère que la pile s'arrête de fonctionner quand le réactif limitant, constitué soit par les ions Cu2+, soit par les ions Zn2+, a été complètement consommé. En utilisant l'équation de la réaction se produisant à l'une des électrodes, calculer la quantité maximale d'électricité que pourrait théoriquement débiter cette pile.On donne la constante d'Avogadro N=6,02 1023 mol-1 , la charge électrique élémentaire e= 1,6 10-19 C.
  2. Charge d'un condensateur : On réalise un circuit électrique en montant en série la pile étudiée précédemment, un condensateur de capacité C = 330 m F et interrupteur K. Le schéma est représenté ci-dessous :

    Pour visualiser l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur en fonction du temps, on utilise un dispositif d'acquisition comme un oscilloscope à mémoire ou un ordinateur avec une interface. A l'instant de date t0 = 0 s, on ferme l'interrupteur K et on obtient l'enregistrement uc = f(t) présenté ci-dessous.

    Pour interpréter cette courbe, on modélise la pile par l'association en série d'une résistance r et d'un générateur idéal de tension de force électromotrice E.. A l'instant de date t1 = 20 s, on considère que le condensateur est chargé complètement.
    - Quelle est la valeur de l'intensité du courant qui circule alors dans le circuit ?
    - La force électromotrice E est la valeur de la tension aux bornes de la pile lorsqu'elle ne débite pas de courant. A partir de l'enregistrement uc = f(t) donner la valeur de E.
    - Détermination de la résistance interne de la pile. Donner l'expression littérale de la constante de temps t. Justifier que cette grandeur est de même dimension qu'une durée. Déterminer graphiquement la valeur de t, par la méthode de votre choix. En déduire la valeur de la résistance interne r de la pile.
    - Expression de uc (t). En respectant l'orientation du circuit indiquée sur le schéma 2, donner la relation entre l'intensité i du courant et la charge q portée par l'armature A. Donner la relation entre la charge q et la tension uc aux bornes du condensateur. Montrer qu'à partir de l'instant de date t0 où l'on ferme l'interrupteur, la tension uc vérifie l'équation différentielle suivante : E=uc +rC duc/dt.
    - La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : uc(t) = E(1-e-at). En déduire l'expression littérale de a.


.
.


corrigé

Qr,i = [Zn2+]i/  [Cu2+]i= C1/C2 = 1

valeur inférieure à K : la réaction évolue spontanément dans le sens direct.

Zn = Zn2+ + 2e- ; Cu2+ + 2e- = Cu

Le zinc est oxydé en Zn2+ (à l'anode). Les électrons libérés par cette oxydation sont disponibles pour le circuit électrique. Donc la lame de Zinc est la borne -.

Par conséquent la lame de cuivre est la borne +.

Q la quantité d'électricité :

D'après le tableau d'avancement les quantités de matière initiales sont en proportions stœchiométriques,

donc : C1V1=C2V2 = 0,1 mol soit 0,2 mol d'électrons

la charge d'une mole d'électrons vaut : 6,02 1023*1,6 10-19 = 1 F = 96500 C

Q= 0,2*96500 = 1,9 104 C.


Charge du condensateur :

Le condensateur étant chargé complètement, il n'y a plus de charges en mouvement donc i=0.

A ce moment là, d'après la loi d'additivé des tensions : E-ri = uC s'écrit E=uC.

le graphe donne la valeur de E soit .1,05 V

résistance interne de la pile :

t = r C, constante de temps du dipôle RC

r : résistance (ohm) = te,sion (V) / intensité (A) = V A-1 ;

C : capacité (farad) = charge ( coulomb) / tension (V) = intensité * temps / tension = A s V-1 ;

r C : V A-1 A s V-1 soit en seconde

 

r = t / C = 3,3 / 330 10-6 = 104 ohms.

Expression de uc(t) :

q = Cuc ; i = +dq/dt = CduC/dt( signe + car charge du condensateur )

loi d'additivité des tensions : E= ri + uC = rCduC/dt + uC .

E= rC u'C+uC ; t u'C+ uC =E .

uc(t) = E(1-e-at) ; dériver par rapport au temps u'C= aEe-at ;

report dans l'équation différentielle :

t (aEe-at )+ E(1-e-at) =E

a t e-at + 1 -e-at = 1 ; a t e-at -e-at = 0

a t = 1 soit a =1/ t ;



autour du radium

Cet exercice comporte 10 AFFIRMATIONS indépendantes concernant les transformations radioactives.

Toute réponse doit être accompagnée de justifications ou de commentaires.A chaque affirmation, vous répondrez donc par VRAI ou FAUX, en justifiant votre choix à l'aide de définitions, de calculs, d'équations de réactions nucléaires,...

A la fin du XIXème siècle, Pierre et Marie Curie découvrent deux éléments chimiques : le polonium puis le radium.

Marie Curie obtient en 1903 le prix Nobel de physique et, en 1911, celui de chimie.

Le radium 22688Ra se désintègre spontanément en émettant une particule a . Le noyau fils est un isotope du radon (Rn). Le radon est un gaz dans les conditions ordinaires de température et de pression. Le 22688Ra est radioactif b-.

  1. AFFIRMATION : Le noyau de polonium noté 20684Ra est composé de 84 neutrons et 124 protons.
  2. AFFIRMATION : La masse d'un noyau de radium est égale à la somme des masses de ses nucléons.
  3. AFFIRMATION : L'équation de désintégration du radium est 22688Ra-->42He+ 22286Rn
  4. AFFIRMATION : Le radium 22688Ra et le radon 22286Rn sont isotopes.
  5. AFFIRMATION : Puisque le radium 22688Ra est radioactif b-, son noyau fils est donc un noyau de francium.
  6. La demi-vie du radon 22286Rn est 3,8 jours. AFFIRMATION : Au bout de 11,4 jours le pourcentage de noyaux de radon restant par rapport au nombre initial est de 12,5%.
  7. Le noyau de radium 22688Ra est obtenu à partir d'une suite de désintégrations radioactives a et b- du noyau d'uranium 23892U. AFFIRMATION : Au cours de ces désintégrations successives, deux particules a et trois électrons sont émis.
  8. Un échantillon de "radium 226" a une activité de 6,0 105 Bq. AFFIRMATION : 2,0 104 noyaux de radium se sont désintégrés en une minute.
  9. AFFIRMATION : L'énergie libérée par la réaction 22688Ra-->42He+ 22286Rn est égale à 8 MeV.
  10. La teneur en radon 222Rn dans les gaz du sol a été déterminée en mesurant une activité de 3,75 103 Bq par m3 de gaz prélevé. La constante radioactive l du radon 222Rn est 2,10 10-6 s-1. AFFIRMATION : La quantité de matière en radon 222Rn dans 1 m3 responsable de cette activité est d'environ 3 10-15 mol.

Données :

L'activité A d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations qu'il produit par secondes. A un instant de date t, A est proportionnelle au nombre N(t) de noyaux radioactifs contenus dans l'échantillon à cet instant et à la constante de radioactivité l.

La particule a est un noyau d'hélium noté 42He.Célérité de la lumière dans le vide c = 2,998 10 8m.s-1

1 eV = 1,6 10-19 J ; 1 an = 3,156 107 s ; Constante d'Avogadro NA= 6,02 1023 mol-1.
élément
radon
francium
radium
actinium
thorium
proactinium
symbol
Rn
Fr
Ra
Ac
Th
Pa
Z
86
87
88
89
90
91
entité
neutron
proton
particule 42He
noyau 22688Ra
noyau 22286Rn
masse en kg
1,674 927 10-27
1,672 621 10-27
6,644 65 10-27
3,572 438 10-25
3,685 904 10-25

 


corrigé
1.
FAUX : d'après le symbole Po

84 est le numéro atomique = nombre de protons

208 est le numéro de masse = nombre de nucléons (protons + neutrons).

2. FAUX : la masse d'un noyau est inférieure à la somme des masses des nucléons : la différence s'appelle défaut de masse.

3. VRAI : "le radium se désintègre spontanément en émettant une particule a (42He), le noyau fils étant un isotope du radon".

conservation de la charge électrique : 88 = 2+86.

conservation du nombre de nucléons : 226 = 4+222.

4. FAUX : radium et radon ne sont pas isotopes : leurs numéros atomiques sont différents.

5. FAUX : le radium étant radioactif b- l'équation de désintégration est :

22688Ra --> 0-1e + AZX

avec 88 = -1+Z

Soit Z = 89, qui n'est pas le numéro atomique du Francium, mais celui de l'Actinium.

6. VRAI : d'après la loi de décroissance radioactive, N = N0e-lt.

Or, la demi-vie t½ du radon est définie par : l t½=ln2

Comme t = 3 t ½ le pourcentage de noyaux de radon restant au bout de t = 11,4 jours est donc :

N0 / 23 = N0 / 8 = 0,125 N0 ; soit 12,5%

7. FAUX :

S'il y a émission de 2 particules 42He et de 3 électrons, le noyau obtenu est le proactinium 230.

23892U --> 42He + 23490Th

23490Th-> 42He + 23088Ra

23088Ra --> 3 0-1e +23091Pa

8. FAUX : l'activité du radium 226 est le nombre de désintégrations par seconde : A = 6,0 * 105 Bq.

Le nombre de noyaux désintégrés en 1 minute est donc égal à : 6,0 * 105 * 60= 3,6 107.

9. FAUX : l'énergie libérée par la réaction est définie par :

Dm = (3,752 438 10-25 - 0,066 4465 10-25 - 3,685 904 10-25) =8,75 10-30 kg

E=Dm c² = 8,75 10-30* 2,9982 x 1016= 7,865 10-13 J

7,865 10-13 / 1,6 10-19 = 4,909 MeV.

10. VRAI : pour 1m3 de radon, A = 3,75 103 Bq

Or A = l N ; N= A / l =3,75 103 /2,1 10-6 = 1,786 109 noyaux

quantité de matière en radon, dans 1m3, responsable de l'activité :

1,786 109/ 6,02 1023 = 2,97 10-15 mol



à suivre ...

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à bientôt ...