Aurélie 09/03

temps caractéristiques de quelques systèmes France 9/ 03

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1- Décroissance radioactive

Un échantillon de matière radioactive est placé dans la chambre d 'un photomultiplicateur. Un détecteur, associé au photomultiplicateur, mesure un nombre d'événements, pendant une durée Dt déterminée. On trace la courbe d'évolution du nombre d'événements mesuré par seconde (noté x), au cours du temps. Soit x0 la valeur de x à l'instant choisi pour origine des dates. On réalise des mesures avec des échantillons de radon22086Rn et de radon 22286Rn qui sont des émetteurs a.

Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude:

expérience1
expérience 2
expérience3
Grandeurs caractéristiques du système :nature du noyau
radon 220
radon 220
radon 222
Conditions initiales : population initialede noyaux radioactifs N0 différent N0' différent N0''
N0
N0'
N0''
Paramètres extérieurs
Aucune modification des paramètres extérieurs
Temps caractéristique
t½ =55,5 s
t½ =55,5 s
t½ = ??
 

Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de x au cours du temps sont représentées :

 

 

  1. Définir le temps de demi-vie (ou demi-vie).
  2. La loi de décroissance radioactive s'écrit sous la forme N = N0 e-lt où :
    N est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant de date t, N0 est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant choisi pour origine des dates t0 = 0 s, l est la constante radioactive. En utilisant la définition du temps de demi-vie, établir l'expression de l en fonction de t½.
  3. Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie. Pour cette détermination, on admettra que le nombre d'événements détectés par seconde, à l'instant de date t, est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon, à cette méme date. Pour déterminer le temps de demi-vie, on peut alors utiliser la courbe x = f (t) de la même façon que celle représentant le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon en fonction du temps.
  4. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 1.3. préciser :
    - Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie ;
    - Si les conditions initiales ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie.

II. Charge d'un condensateur à travers un conducteur ohmique

Soit un dipôle RC constitué d'un condensateur de capacité C réglable et d'un conducteur ohmique de résistance R réglable. On étudie la charge du condensateur à travers le conducteur ohmique. Pour cela, on réalise le montage de la figure ci-dessous.

Le générateur délivre, à ses bornes, une tension constante U0 réglable. Au cours d'une expérience avec acquisition et traitement informatisés des données, on enregistre les variations de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps. A chaque nouvelle expérience, on ne change qu'une seule des conditions expérimentales. Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1
expérience 2
expérience 3
expérience 4
Grandeurs caractéristiques du système
R = 20 kW
R = 20 kW
R = 10 kW
R = 20 kW
C = 31 µF
C = 31 µF
C = 31 µF
C = 12,5 µF
Conditions initiales : uC(à t0 = 0 s) = 0,0 V
Aucune modification des conditions initiales
Paramètres extérieurs
U0 = 4,25 V
U0 = 5 V
U0 = 4,25 V
U0 = 4,25 V
Temps caractéristique
t1 = 0,62 s
t2 = 0,62 s
t3 = 0,31 s
t4 = ??
Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de la tension uC au cours du temps sont représentées :

 

 

  1. Dans le cas de l'expérience 4, déterminer graphiquement par une méthode au choix, la constante de temps du circuit. La méthode sera explicitée et la détermination devra apparaître clairement sur la courbe.
  2. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 2.1., préciser :
    - Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur de la constante de temps ;
    - Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur de la constante de temps.
  3. Plusieurs expressions de la constante de temps t d'un circuit RC sont proposées ci-dessous : 
    t = U0 RC (1) ; t = U0 / (RC) (2) ; t = R/C ; t = C / R (4) ; t = RC (5) ; t = racine carrée (RC) (6)
  4. À partir de l'étude expérimentale précédente, justifier qu'une seule expression est à retenir.
    - Vérifier par une analyse dimensionnelle l'expression de la constante de temps trouvée à la question précédente.

III. Chute avec frottements

À partir d'une même position de l'espace, on réalise dans deux fluides différents, la chute verticale sans vitesse initiale de solides de petites dimensions, de même forme, de même volume, mais de masses différentes. On filme la chute et un dispositif informatique permet de tracer la courbe donnant l'évolution de la vitesse v du centre d'inertie du solide en fonction du temps.

À chaque nouvelle expérience, on ne change qu'une seule des conditions expérimentales. Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1 : solide A
expérience 2 : solide A
expérience 3 : solide B
Grandeurscaractéristiques du système
volume V
volume V
volume V
masse m
masse m
masse m' différente de m
Conditions initiales :Position initiale,Vitesse initiale
Aucune modification des conditions initiales
Paramètres extérieurs
fluide : eau
fluide : détergent
fluide : eau
Temps caractéristique
t1 = 0,21 s
t2 = 0,15 s
t3 = ??
Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de la vitesse v au cours du temps sont représentées :

 

 

  1. Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement le temps caractéristique.
  2. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 3.1.,préciser :
    - Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps caractéristique ;
    - Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur du temps caractéristique.
  3. Lors de la chute verticale d'un solide dans un fluide, le mouvement comporte deux phases :
    - une première phase correspondant au " régime initial " ,
    - une seconde phase correspondant au " régime asymptotique".
    En justifiant la réponse, préciser sans calcul la nature du mouvement du centre d'inertie du solide en chute :
    - au cours du régime initial;
    - au cours du régime asymptotique. 

IV. Bilan

Sans étude complémentaire, compte-tenu des expériences réalisées et des réponses aux questions 1.4., 2.2 et 3.2., analyser pour l'ensemble des trois systèmes étudiés, chacune des propositions données ci-dessous :
- le temps caractéristique dépend des grandeurs caractéristiques du système (proposition 1);
- le temps caractéristique dépend des conditions initiales (proposition 2);
- le temps caractéristique dépend des paramètres extérieurs (proposition 3). 

Si la proposition est vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés, on indiquera : proposition juste.

Si la proposition n'est pas vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés, on indiquera: proposition fausse.

Si les informations données sont insuffisantes pour conclure, on indiquera: informations insuffisantes 

Aucune justification n'est demandée.

 


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corrigé

 demi-vie ou période : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés

d'après le graphe t½ = 4 jours.

½N0 = N0 exp (-lt½)

½ = exp (-lt½) ; ln½ = - lt½ ; - ln 2 = - lt½ ; ln2 = l ;

t½ dépend de la nature du noyau radioactif.

t½ ne dépend pas du nombre initial de noyaux.

 

 

tracer la tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote à t = t = 0,25 s

ou bien à t =t, la tension aux bornes du condensateur vaut 0,63 U0 : tracer une hotizontale passant par u = 0,63 U0 ; à partir de l'intersection avec la courbe tracer une verticale .

R et C ont une unfluence sur t.

la tension U0 n'a pas d'influence sur t.

si R est divisée par 2, alors t est divisée par 2

si C est multipliée par 0,4 alors t est multipliée par 0,4

t est proportionel à R et à C ce qui ne laisse que les expressions (1) et (5).

R, résistance en ohm soit tension(volt) / intensité (ampère) : [V][A]-1.

C capacité en farad soit charge (coulomb) / tension (volt)

charge (coulomb) = intensité (ampère) fois temps (seconde) d'où C : [A][s][V]-1.

en conséquence RC s'exprime en seconde. ( expression (5)

la masse a une influence sur t.

la nature du fluide a une influence sur t.

au tout début de la chute, chute libre

le régime asymptotique correspond à un mouvement rectiligne uniforme.


(1) est vraie.

(2) informations insuffisantes ( ce n'est pas vérifié pour le dipôle RC et les conditions initiales sont inchangées pour la chute)

(3) informations insuffisantes ( les paramètres extérieurs sont inchangées pour le radon)

 



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