Aurélie mai 2001


devoirs en terminale S

le grand looping Inde 04 /98

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mouvement circulaire non uniforme

action du support

On étudie le mouvement du centre d'inertie G d'un chariot de fête foraine. Le chariot dispose d'un double jeu de roulettes: un premier sur les rails et un second dessous pour empécher la perte de contact quelle que soit la situation. On considérera le chariot comme une masse ponctuelle réduite au centre d'inertie G. On distingue 4 parties dans la trajectoire de G:

la partie AB ou rampe de lancement : altitude de A =12m au dessus de B

la partie BC rectiligne horizontale

la partie CSC constitue le looping rayon du cercle R= 3,8 m dans un plan vertical

la partie CD représente la sortie du looping

vitesse initiale en A nulle

masse du chariot : m = 200 kg.

les frottements sont négligés

rampe de lancement AB:

  1. Représenter les forces extérieures subies par le chariot pour une position quelconque entre A et B.
  2. Indiquer quelle force travaille et quelle force ne travaille pas.
  3. On appelle h la dénivellation d'un point quelconque de la trajectoire de G comptée à partir de A positivement vers le bas. Etablir l'expression de la valeur de la vitesse de G en fonction de h.
  4. Vérifier les valeurs de la vitesse pour les positions de g présentées dans le tableau suivant, calculées avec g=9,81 m/s².
    position de G
    A
    B
    C
    S
    h(m)
    0
    12
    12
    4,4
    v(m/s)
    0
    15,3
    15,3
    9,3

mouvement horizontal BC:

  1. Représenter en G sur un schéma les forces extérieures subies par le chariot pour une position de G quelconque entre B et C
  2. Quelle est la valeur de la somme de forces extérieures appliquées à ce chariot? En déduire la nature du mouvement du chariot sur cette partie. Relever dans le tableau précédent, les valeurs numériques confirmant la nature de ce mouvement.

sommet du looping:

  1. On suppose que la valeur de la vitesse est suffisante pour que le point G passant par S, le chariot reste plaqué aux rails, les roulettes de sécurité devenant inutiles. Représenter les forces extérieures appliquées au chariot.
  2. Indiquer le sens, la direction et la valeur de l'accélération aS du point G passant par S. Comparer cette valeur à g.
  3. Appliquer le théorème du centre d'inertie au chariot lorsque G se trouve en S et en déduire l'expression de l'accélération normale des rails en fonction de m, g et aS.
  4. En déduire le sens de cette réaction des rails .

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corrigé



le poids effectue un travail : mgh

l'action du plan perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas

th de l'énergie cinétique entre A et un point M quelconque du parcours AB:

½ mv²M- 0 = mgh d'où v²M = 2gh.


Les deux forces sont opposées: le mouvement est rectiligne uniforme entre B et C avec la vitesse aquise au passage en B soit v²B= 2gH et vB= 15,3 m/s

le poids et l'action du support sont des forces de direction verticale; le poids est dirigé vers le bas.

la somme de ces deux forces est un vecteur de direction verticale; l'accélération est donc un vecteur de direction verticale.

 l'accélération est toujours dirigée vers l'intérieur de la trajectoire : donc l'accélération est orientée vers le bas, passant par le centre du cercle.

La valeur de l'accélération normale est : v²S/ rayon = 9,3² / 3,8 = 22,76 m/s²

soit 2,3 fois plus grande que la valeur de g

Le théorème du centre d'inertie projeté sur l'axe n de la base de Frenet s'écrit :

N + mg = m aS = v²S / R

N= mv²S / R -mg = 200*( 22,76-9,81) = 2590 N




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