Aurélie octobre 2000


devoirs en terminale S

mouvement parabolique



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1

le basketteur

On négligera l'action de l'air. On prendra g = 10 m.s-2.

Lors d'un match de basket, pour marquer un panier, il faut que le ballon passe dans un cercle métallique situé dans un plan horizontal, à 3,05 m du sol horizontal. Pour simplifier, on remplacera le ballon par un point matériel devant passer exactement au centre C du cercle métallique. xOy est un plan vertical contenant le point C ; xOz est le plan du sol supposé horizontal.

D'un point A de Oy situé à 2,00 m du sol, un basketteur, sans adversaire, lance le ballon , avec une vitesse Vo contenue dans le plan xOy. Sa direction fait un angle a = 45° avec le plan horizontal. Vo = 9,2 m.s-1 masse du ballon = 700 g

  1. Donner les coordonnées du vecteur vitesse initiale.
  2. Donner la définition d'un système pseudo -isolé.
  3. Le ballon une fois lancé constitue t'il un système pseudo-isolé ? Justifier.
  4. En appliquant le théorème du centre d'inertie au ballon , déterminer les coordonnées du vecteur accélération dans le repère cartésien utilisé.
  5. On montre que les coordonnées du vecteur position OM sont x = (Vo cosa) t y = -0,5.g.t2 +( Vo sin a). t+ OA z = 0. En déduire l'équation de la trajectoire.
  6. Quelles sont les coordonnées du vecteur vitesse à chaque instant t.
  7. Soit S le sommet de la trajectoire, quelles sont les coordonnées de la vitesse en ce point.
  8. A quel instant ts passe t-on au point S ?
  9. En déduire y la hauteur maximale atteinte par le ballon.
  10. Pourquoi le système (ballon + Terre) est-il conservatif ?
  11. Donner l'expression et déterminer l'énergie mécanique du système en A.
  12. Quelle est l' énergie mécanique du système en C ?
  13. En déduire la valeur de la vitesse du ballon au point C.

 


corrigé

vecteur vitesse initiale:

V0cosa= 9,2 cos 45 = 6,5 ms-1.

V0sina= 9,2 sin 45 = 6,5 ms-1.

Système pseudo isolé : les actions mécaniques se neutralisent.

Une fois lancé le ballon est soumis à son poids :

il ne constitue pas un système pseudo isolé.

vecteur accélération :

équation de la trajectoire :

coordonnées du vecteur vitesse à la date t :

seule la composante de la vitesse suivant la direction du poids est modifiée.

Au sommet de la trajectoire , le vecteur vitesse est horizontal : la composante suivant Oy est nulle. D' où tS= V0sin a / g. Puis on remplace dans l'expression donnant l'ordonnée y.

yS= 0,5 V0²sin²a / g + OA

yS= 0,5*6,5² /10 + 2 = 4,11 m


Au départ l'énergie est sous forme cinétique et sous forme potentielle de pesanteur (origine prise au sol)

0,5 mV0²+ mg OA

0,5*0,7*9,2² + 0,7*10*2 = 43,624 J

En C l'énergie est sous forme cinétique et sous forme potentielle de pesanteur

 0,5 mVC²+ mg OC = 43,624

VC²=(43,624 - 0,7*10*3,05) /0,35 = 63,64 -->VC=7,97 ms-1.


2

remblai dans un wagonnet

  1. Une bande transporteuse ascendante déverse du remblai dans un wagonnet situé 4 m au dessous de son éxtrémité supérieure . Au sommet de la bande ,la vitesse V0 d'éjection de chaque élément de remblai fait avec le plan horizontal un angle a= 20° et a pour valeur 2,2 ms-1.
  2. Etablir l'équation de la trajectoire du centre de gravité d'un élément du remblai ,après avoir précisé le repère choisi.
  3. Calculer à quelle distance x du sommet de la bande transporteuse doit se trouver le milieu du wagonnet pour recevoir correctement le remblai.
  4. Calculer la hauteur maximale atteinte par le remblai lors de son mouvement .
 


corrigé



il faut préciser les coordonées du vecteur accélération, du vecteur vitesse initiale, du vecteur position initiale.

 

à la date t, le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération:

Vx = V0cosa = 2,067

Vy = -gt + V0sina =-9,8 t + 0,752

à la date t, le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse:

x = V0cosa t = 2,067 t

y = -0,5gt² + V0sina t + 4 = -4,9 t² + 0,752 t + 4

Eliminer le temps entre ces 2 relations pour obtenir la trajectoire .

y = -1,147 x² + 0,364 x +4


calcul de la distance x, ou portée :

écrire que y = 0, puis résoudre l'équation du second degré .

On trouve : 2,03 m


hauteur maximale atteinte :

écrire que le vecteur vitesse est horizontal (composante verticale nulle)

d'où t = 0,752 / 9,8 = 0,0767 s

remplacer t par cette valeur dans y :

yS= -4,9 *0,0767² + 0,752 *0,0767 + 4

yS= 4,029 m






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