Suite géométrique, suite arithmétique, bac Sti2d. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . L’algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d’une suite que l’on appellera (un). Entrée : Saisir la valeur de l’entier naturel n Traitement : Affecter 2 à la variable u Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u Fin de Pour Sortie : Afficher u Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l’on saisit n = 1, puis n = 2 et enfin n = 3 ? u1 = 1,5*2 = 3 ; u2 =3*1,5 = 4,5 ; u3 = 1,5*4,5 =6,75 On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,5un . Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser ses éléments caractéristiques. Il s'agit d'une suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme 2  Pour tout entier naturel n, donner l’expression du terme un en fonction de n. u1 = 1,5 u0 ; u2 = 1,5 u1 =1,5* 1,5 u0 = 1,52u0 =1,52*2  ; un = 1,5n *2. On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par : Sn =u0+u1+u2+.....un. Calculer les valeurs des termes S0, S1 et S2. S0 =u0 = 2 ;  S1 =u0 +u1 =2+3 =5 ;  S2 =u0 +u1 +u2 =2+3 +4,5 =9,5. Quelles modifications doit-on faire à l’algorithme précédent pour qu’il affiche la valeur du terme Sn pour un n donné ? Entrée : Saisir la valeur de l’entier naturel n Traitement : Affecter 2 à la variable u Affecter 2 à la variable S Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u S = S+u Fin de Pour Sortie : Afficher S Calculer le terme Sn en fonction de l’entier naturel n. Sn = u0+u1+u2+.....un = u0(1-qn+1) / (1-q) =2((1-1,5n+1) / (1-1,5)= 4(1,5n+1-1). . . . On considère la suite numérique (un) définie par : u0 = 8 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,4un +3. Calculer u1 et u2. u1 =0,4 u0+3 =0,4*8+3 =6,2 ; u2 =0,4 u1+3 =0,4*6,2+3 =5,48. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d’écran sur laquelle les termes u1 et u2 ont été effacés est donnée. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d’obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? =0,4*B2+3 En utilisant cette copie d’écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite (un) ? La suite tend vers 5. On considère l’algorithme suivant : Les variables sont l’entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U−5 > 0,01 Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,4U+3 Fin TANT QUE Sortie : Afficher N Par rapport à la suite (un), quelle est la signification de l’entier N affiché ? N est le plus petit entier à partir duquel un-5 devient inférieur à 0,01. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un −5. On admet que la suite (vn) est géométrique de premier terme v0 = 3 et de raison 0,4. Exprimer vn en fonction de n. v1 = 0,4 v0 =0,4(u0-5) ; v2 = 0,4 v1 =0,42v0 ; vn = 0,4nv0 =0,4n*0,3. Déterminer la limite de la suite (vn).  La limite de la suite (un) est 5 ; la limite de la suite (un)-5 est zéro. La raison est comprise entre -1 et 1 la limite de la suite (vn) est nulle. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ? un =vn+5 ; lim un = 5 + lim vn = 5+0 = 5. Depuis 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7% par an.  Justifier que la norme tolérée était d’environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001. 635(1-0,117) =561 mg / km. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année là. Norme en 2002 : 561(1-0,117) =495 mg / km. Le véhicule respecte la norme 2002. Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l’algorithme suivant : Variables n : un nombre entier naturel p : un nombre réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à p la valeur 635 Traitement Tant que . . . . . . Affecter à n la valeur n +1 Affecter à p la valeur 0,883×p Fin Tant que Sortie Afficher . . . . . . Expliquer l’instruction « Affecter à p la valeur 0,883×p ». p prend une nouvelle valeur ; sa valeur précédente est multipliée par 0,883. Deux lignes de l’algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée. Tant que p >100 ; Afficher 2000+n. Pour tout entier naturel n, on note un la norme tolérée, exprimée en milligrammes l’année (2000+n). On a ainsi u0 = 635. Établir que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. u1 = 0,883 u0 ; u2 = 0,883 u1 = 0,8832 u0..... un = 0,883n u0. Déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. 0,883n u0< 100 ; n log 0,883 +log u0 <log 100 ; -0,054 n +2,803 < 2 ; 0,054n < -0,803 ; n > 0,803/0,054 ; n >14,8.  En 2015 la norme "inférieur à100 mg /km " sera atteinte. .

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