Loi
normale, loi binomiale, intervalle de confiance,
bac Sti2d.
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Une
entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à
l’industrie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier l’exploitation de divers
outils mathématiques
pour analyser la qualité de cette production.
A.
Loi normale.
Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres,
appartient à l’intervalle [74,4 ; 75,6].
On
note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard
dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable
aléatoire L suit la loi normale d’espérance m=75 et d’écart type s=0,25.
Calculer
P(74,4<=L <=75,6).
(74,4-75)/0,25 =-2,4 ; (75,6-75)/0,25 =2,4.
P(74,4<=L
<=75,6)
=P(-2,4 <=(L-m)/s
<=2,4.
(L-m) / s suit la loi
normale centrée
réduite : 2P(2,4)-1.
Les tables donnent : 2P(2,4)-1=2*0,9918-1
=0,9836 ~0,984 à 10-3 près.
Quelle
valeur doit-on donner à h pour avoir P(75−h <=L
<=75+h) = 0,95 ?
(L-m) / s suit la loi
normale centrée
réduite : 2P(h/s)-1=0,95.
P(h/s) =1,95/2 =0,975.
Les tables
donnent t = 1,96.
h =t s
=1,96*0,25 =0,49.
B.
Loi binomiale.
Les pièces produites par l’entreprise sont livrées par lots de 20.
On note D l’événement : « une pièce prélevée au hasard dans la
production n’est pas conforme ».
On suppose que P(D) = 0,02.
On
prélève au hasard 20 pièces dans la production. La production est assez
importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage
aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à un
lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu’il
contient.
Justifier
que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 20 et
0,02.
Les prélevements sont
indépendants et leur nombre est fixé à n = 20.
Chaque
tirage peut déboucher seulement sur 2 résultats : la
probabilité qu'une pièce soit non conforme est constante p = 0,02. La
probabilité qu'une pièce soit conforme est q = 1-p = 0,984.
La loi binomiale B(n=20, p = 0,02) est valide.
Calculer
la probabilité P(X = 0).
P(X=0)= C200
p0
q20 avec C200
= 1 ;
P(X=0)= 0,9820 =0,6676 ~0,668.
Calculer
la probabilité qu’il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot
de 20 pièces.
P(X>=1)=1-P(X=0) =1-0,6676 =0,332.
Calculer
l’espérance mathématiques, E(X), de cette variable aléatoire et
interpréter le résultat.
L'espérance matématique est E(X) = np =20*0,02 =0,4. Sur 100 pièces il
y en a 2 non conformes.
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Intervalle
de fluctuation.
Le cahier des charges établit que la proportion de 2% de pièces non
conformes dans la production est acceptable.
Donner
l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des
pièces non conformes dans un échantillon de taille 80.
p = 0,02 ; n=80 ( valeur supérieure à 30) ; E=np =80*0,02 = 1,6 (
valeur inférieure à 5).
n(1-p) =80*0,98=78,4 ( valeur supérieure à 5) ; s =(np(1-p)½
=(78,4*0,02)½=1,252.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =1,96(0,02*0,98/80)½
=0,02-0,031~-0,01
p+1,96
(p(1-p)/n)½ =1,96(0,02*0,98/80)½ =0,02+0,031~0,051
Intervalle
de confiance [-0,01 ; 0,051]
On
veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour
cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille
80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.
Quelle
est la fréquence des pièces non conformes dans l’échantillon prélevé
?
f=3/80 =0,0375.
La
machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.
La fréquence f appartient à l'intervalle de confiance : une révision
n'est pas nécessaire au risque de 5 %.
On
observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d’un appareil
électroménager jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée
de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire X suivant la
loi exponentielle de paramètre l=
0,2. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de
8 ans est au centième près :
a. 0,18 b. 0,20 c. 0,71 d. 0,80.
p(X>8) =e-0,2*8 =0,202.
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. |
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Une
entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la
compétition.
Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
Il
mesure pour cela la masse des boules d’un échantillon (E) de 50 pièces
de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la
série statistique des masses :
| M=
Masse en g |
1195 |
1196 |
1197 |
1198 |
1199 |
1200 |
1201 |
1202 |
1203 |
1204 |
Total |
| n=Nombre
de boules |
1 |
3 |
4 |
6 |
8 |
11 |
6 |
5 |
3 |
3 |
50 |
| nM |
1195 |
3588 |
4788 |
7188 |
9592 |
13200 |
7206 |
6010 |
3609 |
3612 |
59998 |
Une boule
est dite « de bonne qualité
» si sa masse en grammes m vérifie : 1197<= m <=1203.
Calculer,
pour l’échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.
7 boules non conformes sur 50 soit 7/50 = 0,14.
Déterminer
la moyenne et l’écart type de la série des masses de cet échantillon.
(On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
m =59998/50=1199,76 ~1200 g ; s
=2,21.
Dans
la suite de l’exercice, on admet que la probabilité qu’une boule soit
de bonne qualité est : p = 0,86. Les résultats des différentes
probabilités seront donnés au millième près.
L’entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix
de chaque pièce d’un lot à un tirage avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50
boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.
Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres
n et p.
Il
s’agit d’une expérience de Bernoulli (le succès vaut p = 0,86 et
l'échec vaut q= 0,14) répétée n = 50 fois dans les mêmes conditions et
de manière indépendante.
Le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(50 ; 0,86)
Déterminer
la probabilité qu’il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le
lot.
Cela signifie qu'il peut y avoir 48, 49 ou 50 pièces conformes.
P( X >=48)=P(X=48) +P(X=49)+P(X=50).
P(X=48)= C5048 p48
q2
avec C5048
= 50*48/2=1200 ; P(X=48)= 1200*0,8648*0,142=0,0169.
P(X=49)= C5049 p49
q1
avec C5049
= 50 ; P(X=49)=50*0,8649*0,14=0,0043.
P(X=50)= C5050 p50
q0
avec C5050
= 1 ; P(X=50)=0,8650=5,31 10-4.
P( X >=48)=0,0217.
On décide
d’approcher la loi binomiale
suivie par la variable aléatoire
X par une loi normale d’espérance m et d’écart type s.
Justifier
que m = 43 et s
~ 2,45.
m =np =50*0.86=43 ; s
= (npq)½ =(50*0,86*0,14)½~2,45.
Déterminer,
à l’aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité
qu’il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
P( X >=48)=P(X=48)
+P(X=49)+P(X=50).
(X-m)
/ s ) = (48-43)/2,45=2,04 ; les
tables donnent : P(2,04)=0,9793
; P(
X >=48)=1-0,9793 = 0,0207.
Le client
reçoit un lot de 50 boules.
Préciser
l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des
boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.
p-1,96 (p(1-p)/n)½
=0,86-1,96(0,86*0,14/50)½ =0,86-0,096~0,76
p+1,96
(p(1-p)/n)½ =0,86+1,96(0,86*0,14/50)½
=0,86+0,096~0,956
Intervalle
de confiance [0,76 ; 0,956]
Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité.
Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité
est trop faible au regard de la production habituelle de l’entreprise.
Peut-on
donner raison au client au seuil de confiance de 95% ? Justifier.
Fréquence des boules de bonne qualité f = 42/50 = 0,84.
Cette
fréquence appartient à l'intervalle de confiance. La proportion de
boules de bonne qualité est correcte.
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Une
entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d’amande. La
masse annoncée sur leur emballage est de 125 grammes. La machine qui
fabrique les barres de pâte d’amande est préréglée afin que ces
dernières respectent la masse de 125 grammes avec une certaine
tolérance. Une barre de pâte d’amande est dite conforme lorsque sa
masse est comprise dans un intervalle de tolérance de [124 ; 127,5].
On
désigne par X la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d’amande
prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le
service qualité estime que la variable aléatoire X suit la loi normale
d’espérance 125,5 et d’écart type 0,75.
On utilisera éventuellement
le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l’aide d’un
tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale
d’espérance 125,5 et d’écart type 0,75.
Calculer
la probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard ait une
masse supérieure à 125,5 grammes P(X >125,5).
P(X >125,5) =0,500 ( lecture table).
Calculer la
probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard soit
conforme.
X doit être compris entre 124 et 127,5 bornes comprises.
P(X<124) = 0,022 750 1 ; P(X>127,5) =1-0,996 169 6 =0,003 830 4.
P(124 <= X <= 127,5) =1-0,022 750 1-0,003 830 4 ~0,973.
En déduire la
probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard soit non
conforme.
P(X<124) +P(X>127,5) =0,022 750 1+0,003 830 4 ~0,0266.
Lors
d’un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un
échantillon de 300 barres de pâte d’amande dans la production et
constate que 280 barres de pâte d’amande sont conformes.
On admet
que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de
barres de pâte d’amande conformes dans l’ensemble de la production est
de 97%.
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé
satisfaisant.
Donner
l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des
barres de pâte d’amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de
taille 300 (les bornes de l’intervalle seront arrondis à 10−3
près).
p = 0,97 ; q = 0,03 ; n = 300.
p-1,96
(p(1-p)/n)½ =0,97-1,96(0,97*0,03/300)½
=0,97-0,0193~0,95
p+1,96
(p(1-p)/n)½ =0,97+1,96(0,86*0,14/50)½
=0,97+0,0193~0,996
Intervalle
de confiance [0,95 ; 0,99]
Le résultat obtenu
lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine
?
Dans son lot, le client a
280 boules qui sont de bonne qualité.
Fréquence : 280/300 =0,93, cette fréquence est hors de l'intervalle de
confiance. La machine est mal réglée.
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