Mathématiques, Brevet des collèges Amérique du sud 2012

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Exercice 1.  QCM
  1. Quelle est l’expression développée de (3x+5)2 ?
9x2 +25 +30x. Réponse
2. Quelle est l’expression factorisée de 16x2 −49 ?
(4x)2-72 = (4x-7)(4x+7).
3. Quelle est la valeur exacte de racine carrée (48) / 2 ?
48 = 16 x3 = 24 x 3.
Racine carrée (48) / 2 = racine carrée (24) x racine carrée (3) / 2 = 2 x racine carrée (3).
4. La fonction f(x)=5−4x est affine.
5. L’écriture scientifique de 65 100 000 est :
6,51 x 10 000 000 = 6,51 107.
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Exercice 2.
Pour gagner le gros lot dans une fête foraine, il faut d’abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de trois en tournant une roue.
1. L’urne contient 6 boules vertes, 5 boules blanches et des boules rouges.
Le responsable annonce « 50% de chances de tirer une boule rouge ».
Combien y a-t-il de boules rouges dans l’urne ?
On note a le nombre de boules rouges.
probabilité de tirer une boule rouge 0,5 = a / (6+5+a).
a = 0,5(11+a) = 5,5 +0,5a ; 0,5 a = 5,5 ; a = 5,5 / 0,5 ; a = 11.
2. On fait maintenant tourner la roue séparée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8.
Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ?
cas favorables : 3 et 6 , probabilité de tirer un multiple de 3 : 2 / 8 = 1 / 4 = 0,25.
3. Pierre décide de participer au jeu.
Quelle est la probabilité qu’il gagne le gros lot ?.
0,5 x0,25 = 0,125. ( 1 chance sur 8 ).

 Exercice 3.
1. Les nombres 555 et 240 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
Non, ils possèdent 1, 5, 3, 15 comme diviseurs communs.
2. Écrire la fraction 240 /555 sous la forme la plus simple possible. Expliquer la démarche.
Recherche du PGCD ( 240 ; 555 ) à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
555 = 2 x240 +75 ; 240 = 3 *75 +15 ; 75 = 5 x15.
240 = 15 x16 ; 555 =15 x 37. 240 / 555 = 16 / 37.





Exercice 4.
Pierre vient d’acheter un terrain dont on peut assimiler la forme à la figure ci-dessous

Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit
qui se présente en sac de 15 kg où il est écrit « 1 kg pour 35 m2 ».
1. Combien de sacs de gazon devrat- il acheter ?
Aire du rectangle : 20 x40 = 800 m2 ; aire du triangle : 40 x30 / 2 = 600 m2.
Aire totale : 800 +600 = 1400 m2.
Nombre de sacs : 1400 / 35 = 40.
2. De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150 m de grillage, est-ce suffisant ? Justifier.
BC2 = CD2 + BD2 =302 +402 = 900 +1600 = 2500 ; BC = 50 m.
20 +40 +20 +30 +50 = 160 m.
Il ne possède pas suffisamment de grillage.
Exercice 5.
Deux bateaux sont au large d’une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions A et B comme indiquées ci-dessous. Ils constatent qu’ils sont séparés de 800 m, et chacun voit l’île sous un angle différent. Déterminer, au m près, la distance qui sépare
chaque bateau de l’île.

l'angle ß mesure 180 -55-35 = 90°.
sin 35 = AI / AB = AI / 800 ; AI = 800 x sin 35 ~ 459 m.
sin 55 = BI / AB = BI / 800 ; BI = 800 x sin 55 ~ 655 m.


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On considère la figure ci-contre où les droites (EF) et (MN) sont parallèles, les droites (EN) et (FM) sont sécantes en P.
Déterminer la longueur MN.

Exercice 6. Lancer du poids.
Cette discipline sportive consiste à lancer un poids réglementaire, à partir d’un cercle, le plus loin possible.
I- Le cercle de lancer.
Pour effectuer son lancer, l’athlète doit prendre son élan dans un cercle de diamètre 2,14 m.
1. Calculer l’aire du disque délimité par le cercle de lancer.
pr2 = 3,14 x1,072 ~3,6 m2.
Pour être valable, le jet doit tomber à l’intérieur des deux lignes inscrites sur le sol et formant un secteur d’un angle de 40 °.
2. Représenter le cercle et la zone de lancer à l’échelle 1 / 50.
2,14 m correspond à 214 / 50 ~4,3 cm.


Le poids est une boule métallique.
Pour être utilisé en compétition, il doit vérifier les conditions suivantes :
Poids Homme Femme
Homme : diamètre de 110 mm à 130 mm  ; masse de 7,26 à 7,285 kg.
Femme : diamètre de 95 mm à 110 mm ; masse de 4 kg à 4,025 kg
Un poids de diamètre 12 cm est composé d’un métal ayant une masse volumique de 8 g/cm3.
Ce poids vérifie-t-il les conditions nécessaires pour être utilisé en compétition ?
Volume : V = 4 / 3 p r3 = 4 /3 x3,14 x63=904,78 cm3.
Masse : 904,78 x 8 ~7238 g = 7,238 kg.
Non , la masse n'est pas comprise entre 7,26 et 7,285 kg.



Trajectoires
Pour une même impulsion, la longueur du jet du poids varie en fonction de l’angle de lancer.
Les trois courbes  représentent la hauteur (en m) en fonction de la distance horizontale (en m) parcourue par le poids.
Les courbes (C1), (C2) et (C3) correspondent à des angles de lancer respectifs de 60 °, 40 ° et 10 °.

En utilisant ces courbes répondre aux questions suivantes :
1. À quelle hauteur le poids est-il lâché ? 2 m.
2. Pour quel angle de lancer, la longueur du jet est-elle la plus grande ? Quelle est alors la distance obtenue pour ce lancer ?
40° , 19 m.
3. Pour quel angle de lancer, le poids monte-t-il le plus haut ? Quelle est alors la hauteur maximum atteinte par le poids ?
60°, 8,5 m.

Performances.
Voici les valeurs (en m) des lancers réalisés par les 11 finalistes qualifiés aux J. O. de 2008 :
20,06 ; 20,53 ; 21,09 ; 19,67 ; 20,98 ; 20,42 ; 21,51; 21,04 ; 20,41 ; 20,63 ; 21,05.
1. Les médailles d’or, d’argent et de bronze ont été obtenues respectivement par la Pologne, les États-Unis et la Biélorussie.
Donner les longueurs de lancer de leurs athlètes.
21,51 m ; 21,09 m ; 21,05 m.
2. Calculer la longueur de lancer moyenne de cette finale.
(20,06 +20,53 +21,09 +19,67 +20,98 +20,42 +21,51 +21,04 +20,41 +20,63 +21,05) / 11 =20,67 m.
3. L’ukrainien Yurly Bilonoh a réussi le lancer médian de cette finale. Quelle a été la longueur de son lancer ?
Ordonner les valeurs : 19,67 ; 20,06 ; 20,41 ; 20,42 ; 20,53 ; 20,63 ; 20,98 ; 21,04 ; 21,05 ; 21,09 ; 21,51.
4. Calculer le pourcentage des lanceurs qui ont franchi les 21 m.
 4 /11 x100 ~36,4 %.


  

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