Mathématiques, Brevet des collèges Centres étrangers 2014

Mathématiques, Brevet des collèges Centres étrangers 2014

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Exercice 1.
Voici une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur.
Dans cet exercice, on cherche à comprendre comment cette feuille a été remplie.

A
B
C

1
216
126
90

2
126
90
36

3
90
36
54

4
54
36
18

5
36
18
18

1. En observant les valeurs du tableau, proposer une formule à entrer dans la
cellule C1, puis à recopier vers le bas.
=A1-B1
2. Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN. À partir de deux nombres,
MAX renvoie la valeur la plus grande et MIN la plus petite. (exemple MAX(23 ; 12) = 23)
Quelle formule a été entrée dans la cellule A2, puis recopiée vers le bas ?
=MIN(A1 ; B1)
3. Que représente le nombre figurant dans la cellule C5, par rapport aux nombres 216 et 126 ?
216 = 2³ x3³ ; 126= 2 x3²x7 ; PGCD(216 ; 126) = 2 x3² =18.
4. La fraction 216 /126 est-elle irréductible ? Si ce n’est pas le cas, la rendre irréductible
en détaillant les calculs.

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Exercice 2.
À Pise vers 1200 après J. C. (problème attribué à Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien
italien du moyen âge). Une lance, longue de 20 pieds, est posée verticalement le long d’une tour considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne l’extrémité de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour, de combien descend l’autre extrémité de la lance le long du mur ?
* Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ 30 cm.

AB² = BH²-AH² =20²-12²=400-144=256 ; AB = 16 pieds
La lance descend de 20-16 = 4 pieds le long du mur.

Exercice 3.
Attention les figures tracées ne respectent ni les mesures de longueur, ni les mesures d’angle
Répondre par « vrai » ou « faux » ou « on ne peut pas savoir » à chacune des affirmations
suivantes et expliquer votre choix.
1. Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle. Faux.
Un triangle ABC inscrit dans un demi-cercle de diamètre AB est rectangle en C.
2. Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB] alors le triangle AMB est isocèle.
Vrai.
Un point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment.
3 et 4.

Exercice 4.
Paul en visite à Paris admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre de la cour intérieure du Louvre. Cette pyramide régulière a :
• pour base un carré ABCD de côté 35 mètres ;
• pour hauteur le segment [SO] de longueur 22 mètres.
Paul a tellement apprécié cette pyramide qu’il achète comme souvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir en verre est une réduction à l’échelle 1 /500 de la vraie pyramide.
Le mode d’emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm³ d’huile par heure.
Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d’huile dans le réservoir ? Arrondir à l’unité d’heures.
Rappel : Volume d’une pyramide = un tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur
Dimensions du réservoir d'huile : base carrée de côté 35 /500 =0,07 m = 7 cm et de hauteur 22/500 = 0,044 m = 4,4 cm.
Volume de ce réservoir : aire de base x hauteeur / 3 = 7 x7 x4,4 / 3 = 71,87 cm³.
Durée = 71,87 / 4 ~ 18 heures.

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Exercice 5.
1. Développer et réduire l’expression : (2n+5)(2n−5) où n est un nombre quelconque.
(2n+5)(2n-5)=4n²+10n -10n -25 = 4n²-25.
2. En utilisant la question 1, calculer 205×195.
205 x195 = 200²-25 = 39975.

Exercice 6.
Pour préparer son voyage à Marseille, Julien utilise un site Internet pour choisir le meilleur itinéraire. Voici le résultat de sa recherche :
Calculez votre itinéraire 59 000 Lille–13000 Marseille
Coût estimé Péage 73,90 €
Carburant 89,44 €
Temps 8 h 47 dont 8 h 31 sur autoroute
Distance 1004 km dont 993 km sur autoroute.
1. Quelle vitesse moyenne, arrondie au km/h, cet itinéraire prévoit-il pour la portion de trajet sur autoroute ?
8 h 31 = 8 x60 +31 = 511 min ; vitesse = 993 / 511 =1,943 km / min soit 1,943 x60 = 116,6 ~117 km /h.
2. Sachant que la sécurité routière préconise au moins une pause de 10 à 20 minutes toutes les deux heures de conduite, quelle doit être la durée minimale que Julien doit prévoir pour son voyage ?
8 h 47 min + 4 x10 min = 8 h + 87 min = 9 h 27 min.
3. Sachant que le réservoir de sa voiture a une capacité de 60 L et qu’un litre d’essence coûte 1,42 €, peut-il faire le trajet avec un seul plein d’essence en se fiant aux données du site internet ?
Volumr de carburant : 89,44 / 1,42 ~63 L, valeur supérieure au volume du réservoir.

Exercice 7.
Il existe différentes unités demesure de la température : en France on utilise le degré Celsius (°C), aux Etats-Unis on utilise le degré Fahrenheit (° F).
Pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1,8 et on ajoute 32 au résultat.
1. Qu’indiquerait un thermomètre en degrés Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d’eau qui gèle ? On rappelle que l’eau gèle à 0 °C
0 x1,8 +32 = 32 °F.
2. Qu’indiquerait un thermomètre en degrés Celsius si on le plonge dans une casserole d’eau portée à 212 °F ? Que se passe t-il ?
(212-32) / 1,8=100°C.
L'eau bout à 100 °C sous une pression de 1 bar.
3. a. Si l’on note x la température en degré Celsius et f (x) la température en degré Fahrenheit, exprimer f (x) en fonction de x.
f(x) = 1,8 x +32.
b. Comment nomme-t-on ce type de fonction ?
Fonction affine.
c. Quelle est l’image de 5 par la fonction f ?
f(5) = 1,8 x5 +32 = 41.
d. Quel est l’antécédent de 5 par la fonction f ?
5 = 1,8 x +32 ; 1,8 x = 5-32 ; 1,8 x = -27 ; x = -27 /1,8 =-15.
e. Traduire en terme de conversion de température la relation f (10) = 50.
10 °C correspond à 50 °F.

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