Mathématiques, Brevet des collèges Amérique du Nord 2016

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Exercice 1. 
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses.
Affirmation 1 : La solution de l’équation 5x +4 = 2x +17 est un nombre entier. Faux.
5x-2x=17-4 ; 3x = 13 ; x = 13 / 3.
Affirmation 2 : Le triangle CDE est rectangle en C. Vrai.

Affirmation 3 : Manu affirme que, sur ces étiquettes, le pourcentage de réduction sur la montre est supérieur à celui pratiqué sur la paire de lunettes. Faux.
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Exercice 2.
 1. Guilhem, en week-end dans une station de ski, se trouve tout en haut de la station. Il a en face de lui, deux pistes noires, deux pistes rouges et une piste bleue qui arrivent toutes à un restaurant d’altitude. Bon skieur, il emprunte une piste au hasard.
a. Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge ?
Nombre de piste rouge / Nombre total de pistes = 2 / 5 = 0,40.
b. À partir du restaurant, sept autres pistes mènent au bas de la station : trois pistes noires, une piste rouge, une piste bleue et deux pistes vertes. Quelle est la probabilité qu’il emprunte alors une piste bleue ?
Nombre de piste bleue / Nombre total de pistes = 1 / 7 ~ 0,14.
2. Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu’en bas dans les mêmes conditions que précédemment. Quelle est la probabilité qu’il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires ?
2 / 5 x 3 / 7 = 6 / 35 ~0,17.
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Exercice 3.
Une station de ski a relevé le nombre de forfaits « journée » vendus lors de la saison écoulée (de décembre à avril).
Les résultats sont donnés ci-dessous dans la feuille de calcul d’un tableur.

A B C D E F G
1 mois décembre janvier février mars avril Total
2 Nombre de forfaitsjournées
vendus		 60457 60457 148901 100058 10035
1. a. Quel est le mois durant lequel la station a vendu le plus de forfaits « journée » ? Février.
b. Ninon dit que la station vend plus du tiers des forfaits durant le mois de février. A-t-elle raison? Justifier.
Total forfaits = 60457 + 60457 + 148901 +100058 +10035 =379908.
Proportion de forfaits vendus en février : 148901 / 379908 =0,39. 0,39 >0,33 , Ninon a raison.
2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour obtenir le total des forfaits « journée » vendus durant la saison considérée ? =SOMME(B2:F2).
3. Calculer le nombre moyen de forfaits « journée » vendus par la station en un mois. On arrondira le résultat à l’unité.
379908 / 5 ~ 75982.

Exercice 4.
Sur un télésiège de la station de ski, on peut lire les informations suivantes.
1. Une journée de vacances d’hiver, ce télésiège fonctionne avec son débit maximum pendant toute sa durée d’ouverture.
Combien de skieurs peuvent prendre ce télésiège ?
16-9 = 7 heures d'ouverture ;7 x 3000 = 21 000.
2. Calculer la durée du trajet d’un skieur qui prend ce télésiège.
On arrondira le résultat à la seconde, puis on l’exprimera en minutes et secondes.
distance (m) / vitesse (m/s) = 1453 / 5,5 = 264,18 ~264 s ou 4 min 24 s.
3. Calculer l’angle formé avec l’horizontale par le câble de ce télésiège. On arrondira le résultat au degré.


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Exercice 5.
Une station de ski propose deux tarifs de forfaits :
• Tarif 1 : le forfait « journée » à 40,50 €.
• Tarif 2 : Achat d’une carte club SKI sur Internet pour 31 €( et donnant droit au forfait « journée » à 32 €.
1. Déterminer par le calcul :
a. Le tarif le plus intéressant pour Elliot qui compte skier deux journées.
Tarif 1 : 2 x 40,50 = 81€. Tarif 2 : 31 + 2 x 32 = 95 €. Le tarif 1 est le plus intéressant.
b. Le nombre de journées de ski à partir duquel le tarif 2 est plus intéressant.
On note x le nombre de journées et y le prix payé :  tarif 1 : y1 = 40,5 x ; tarif 2 : y2 = 31 +32x.
y2 < y1 ; 31+32x < 40,5 x ; 31 < 40,5 x-32 x ; 31 < 8,5 x ; x > 31 / 8,5 ;  x >3,64.
Le nombre de journées doit être supérieur ou égal à 4.
2. Utiliser le graphique ci-dessous qui donne les prix en euros des forfaits en fonction du nombre de jours skiés pour les deux tarifs.

Déterminer par lecture graphique :
a. Le tarif pour lequel le prix payé est proportionnel au nombre de jours skiés. On justifiera la réponse.
Le graphe doit être une droite passant par l'origine ( tarif 1).
b. Une estimation de la différence de prix entre les deux tarifs pour 6 jours de ski.
c. Le nombre maximum de jours de ski que peut faire Elliot avec un budget de 275 €.
7 jours avec le tarif 2 ; 6 jours avec le tarif 1.

Exercice 6.
Sur l’altiport (aérodrome d’altitude) de la station de ski se trouve une manche à air qui permet de vérifier la direction et la puissance du vent.
Cette manche à air à la forme d’un tronc de cône de révolution obtenu à partir d’un cône auquel on enlève la partie supérieure, après section par un plan parallèle à la base.
On donne : AB = 60 cm, A′B′ = 30 cm, BB′ = 240 cm.
O est le centre du disque de la base du grand cône de sommet S.
O′ milieu de [OS], est le centre de la section de ce cône par un plan parallèle à la base.
B′ appartient à la génératrice [SB] et A′ appartient à la génératrice [SA].
1. Démontrer que la longueur SB est égale à 480 cm.
2. Calculer la longueur SO. On arrondira le résultat au centimètre.
3. Calculer le volume d’air qui se trouve dans la manche à air. On arrondira au centimètre cube.


Exercice 7.
Un couple et leurs deux enfants Thomas et Anaïs préparent leur séjour au ski du 20 au 27 février. Il réservent un studio pour 4 personnes pour la semaine.
Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard. Ils doivent tous louer leur matériel.
Ils prévoient une dépense de 500 € pour la nourriture et les sorties de la semaine.
1. Déterminer pour cette famille, la formule la plus intéressante pour l’achat des forfaits pour six jours.
Formule 1 : 1 adulte 187,50 €pour 6 jours ; 1 enfant : 162,50 € pour 6 jours.
187,50 x 2 +162,50 x2 = 700 €.
Formule 2 : achat d'une carte famille 120 € puis 1 forfait adulte 25 € par jour et 1 forfait enfant 20 € par jour.
120 + 2 x25x6 +2x20x6 =660 €. La formule 2 est la plus intéressante.
2. Déterminer alors le budget total à prévoir pour leur séjour au ski.
Location de matériel de ski :
Adulte : skis, casque, chaussures : 17 € par jour soit 2x6x17 = 204 €.
Enfant : skis, casque, chaussures : 10 € par jour soit 6x10 = 60 €
Enfant : snowboard, casque, chaussures : 19 € par jour soit 6x19 =114 €.
Total location matériel : 204 +60 +114 = 378 €.
Location studo 4 personnes : 1020 €.
Total : 1020 +378 +660 +500 = 2558 €.



  

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