Mathématiques, concours Advance 2017 .

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1. Soit f une fonction continue sur R telle que la limite de f(x) soit égale à 1 quand x tend vers zéro.
A. Quand x tend vers 0, la limite de f(x+1) est égale à 2. Faux.
Par exemple f(x) = 2x+1. (f0) = 1 ; f(x+1)=2(x+1)+1 = 2x+3  tend vers 3 si x tend vers zéro.
B. Quand x tend vers zéro, la limite de f(x2) est égale à 1. Vrai.
C. Quand z tend vers 1, la limite de f(z-1) est égale à 1. Vrai.
On pose X = z-1 ; X = 0 si z=1.
Quand X tend vers zéro, la limite de f(X) est égale à 1.
D. Quand t tend vers l'infini, la limite de f(1/t) est égale à 1. Vrai.
E. Quand u tend vers 3, la limite de f(u2-2u-3) est égale à zéro. Faux.
On pose X = u2-2u-3 ; X = 0 si u =3.
Quand X tend vers zéro, la limite de f(X) est egale à 1.

2. Pout tout x réel.
A. ex+2 = ex +e2. Faux.
ex+2 = ex fois e2.
B. e2x-2ex+1 >0. Vrai.
On pose X = ex  ; X2-2X+1 = (X-1)2 >0.
C. racine carrée (ex)=e0,5x. Vrai.
racine carrée (ex) = (ex)0,5.
D. Si x >0, exp (x ln(x)) = xx. Vrai.
exp (xln(x))=exp( ln(xx).
E. Si x <0, e1-x -e-x <0. Faux.
On pose u = -x >0 ; e1+u -eu >0.

3. Soit f la fonction dérivable sur ]0 ;+oo[ définie par f(x) = x ln(x)-x.
   A. Quand x tend vers 0+, la limite de f(x) est égale à zéro. Vrai.
Quand x tend vers 0+ : ln(x) tend vers moins l'infini ; ln(x)-1 tend vers moins l'infini.
x(ln(x) -1) tend vers zéro.
B. Quand x tend vers plus l'infini, la limite de f(x) est égale à zéro. Faux.
Quand x tend vers +oo : ln(x) tend vers plus l'infini ; ln(x)-1 tend vers plus l'infini.
x(ln(x) -1) tend vers plus l'infini.
C. Pour tout x appartenant à ]0 ; +oo[, f '(x) = ln(x). Vrai.
On pose u = x ; v = ln(x)-1 ; u' = 1 ; v' = 1/x.
u'v +v'u = ln(x)-1 +1.
D. f est croissante sur ]0 ; +oo[. Faux.
f '(x) est négative si x appartient à ]0 ; 1[ et positive si x >1.
f(x) strictement décroissante sur ]0 ; 1[ et croissante si x >1.
f(x) présente un minimum égal à -1 pour x = 1
E. Pour tout x appartenant à ]0 ; +oo[, f(x) > 0. Faux.
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 4  Soit f la fonction dérivable sur R définie par f(x) = x-e-x.
A. f est strictement croissante sur R. Vrai.
f '(x) = 1 +e-x >0.
B. f(1) >0. Vrai.
f(1) = 1 -1/e ~1-1 /2,7 ~0,63.
C. Il existe x appartenant  à ]0 ; 1 [ tel que f(x)=0. Vrai.
f(0) = -1 ; f(1) >0 ; f(x) est strictement croissante.
D. Pour tou x réel, f(x) est négative ou nulle. Faux..
E. Pour tou x réel, f '(x) <1. Faux.

5 - Soit B un ensemble de 100 boules qui sont, d'une part soit rouge soit noire ; d'autre part, soit en verre, soit en plastique.
On considère 2 énoncés suivants :
P : toute boule rouge est en verre.
Q : il existe une boule noire et en verre.
A. Pour prouver que P est faux, il suffit de trouver une boule rouge en plastique. Vrai.
B. Pour prouver que P est faux, il est nécessaire de trouver une boule rouge en plastique. Faux.
C. Pour prouver que P est vrai,  il est nécessaire de vérifier que toutes les boules noires sont en plastique. Faux.
D. Si Q est vrai alors P est faux. Faux.
E. Si P est faux alors Q est vrai. Faux.

6. Soit f une fonction définie sur [0 ; 2), on considère les deux énoncés suivants :
P : pour tout x de cet intervalle, f(x) diffère de zéro.
Q : f n'est pas positive sur cet intervalle.
A. P signifie " f est strictement positive sur [0 ; 2] ou strictement négative sur [0 ; 2]". Vrai.
B. P signifie" pour tout x appartenant à [0 ; 2], f(x) <0 ou f(x) >0". Vrai.
C. Q signifie " f est négative sur [0 ; 2]". Vrai.
 f est donc négative ou nulle ; zéro peut être considéré comme un nombre négatif.
D. La négation de P peut s'écrire " f est la fonction nulle sur [0 ;2 ]. Vrai.
P peut s'écrire " auncune image f(x) n'est égale à zéro".
non P  " toutes les images f(x) sont nulles".
E. La négation de Q peut s'écrire " f n'est pas négative sur [0 ; 2]. Faux.
La négation de Q est " f est positif sur [0 ; 2] ; or zéro est un nombre à la fois positi et négatif.




7. Soit f la fonction dérivable sur [-1 ; 1], paire et vérifiant :
pour tout x appartenant à [0 ; 1], x6 < f(x) < x2.
A. Pour tout x appartenant à [-1 ; 0], x6 < f(x) < x2. Vrai.
La fonction est paire f(x) = f(-x).
B. f(0)=0. Vrai.
C. f '(x) = 0. Vrai.
Au voisinage de zéro,  6 x5 < f '(x) < 2x.
D. f '(x) est impaire. Vrai.
f est paire, la dérivée de x2n et 2n x2n+1 avec n entier.
E. pour tout x appartenant à [0 ; 1 ], 6 x5 < f '(x) < 2x. Faux.


8. Soit (un) une suite définie par u0 = 2 et pour tout n entier par un+1 = un / (n+1).
A. (un) est une suite géométrique. Faux.
u1 = u0 /2 =1 ; u2 =u1 /3 = u0 /6 =1 / 3 ; u3 =u2 /4 = u0 / 24 =1 / 12.
B. (un) est décroissante. Vrai.
un+1 - un =un( 1/(n+1)-1) = - n un / (n+1) négatif.
C. (un) est convergente. Vrai.
D. Pour tout n entier, 0 < un+1 /un < 1. Vrai.
un+1 / un = 1 /(n+1).
E. Quand n tend vers l'infini, la limite de n un est égale à 1. Faux.
un tend vers zéro et n tend vers l'infini.


9.

10.Pour chaque complexe z, Re(z) désigne sa partie réelle, Im(z) sa partie imaginaire.
A. Re((1+i)4) = 4 Re(1+i).Faux.
On pose z = 1+i ; |z| = 2½ ; z / |z| =1/2½  +1/2½ i =exp(ip/4) ; z =2½exp(ip/4).
Re(1+i) = 1 ; z4=4exp(ip) = 4 (cos p + isin p)=-4 ; Re(z4) = - 4
B.arg(1+i)4 = 4 arg(1+i) modulo 2p. Vrai.
C. Im((-1+i3½))3=3 Im(-1+i3½). Faux.
On pose z= -1+i3½ ; |z| =2 ; z / |z| =-0,5+i 3½/2 = cos(2p/3) +i sin (2p/3).
z =2 exp(2ip/3) ; z3=8 exp(2ip)=8(cos(2p) +isin(2p) = 8 cos(2p)=8.
D. |(-1+i3½)3 | =3 |-1+i3½ |. Faux.
|z|=2 ; |z3|=8.
E. . Vrai.










11. Un paquet de 10 cartes à jouer comprend 4 as, 3 rois et 3 dames. Le tirage d'un as rapporte 5 points, celui d'un roi 2 points tandis que celui d'une dame coûte 1 point. On tire simultanément deux cartes et on note X le nombre de points.
A. P(X=7)=4 / 15. Vrai.
Il y a C102 =10 x9 / 2 = 45 façons de tirer 2 cartes.
Il y a C41 =4 façons de tirer un as et Il y a C31 =3 façons de tirer un roi.
Probabilité d'obtenir 7 points : 4 x3 / 45 = 12 / 45 = 4 / 15.
B. P(X=4) = 4 /15. Vrai.
Il faut tirer un as et une dame ( même probabilité que de tirer un as et un roi)
 C. P(X=6) = 4 /15 Faux.
On ne peut pas obtenir 6 points en tirant deux cartes.
D. P(X<0)=1 /15. Vrai.
Il faut tirer deux dames. P(X <0) = C32 /45 = 3 / 45= 1 /15.
E. P(X > 1 )= 14 / 15. Vrai.
Il ne faut pas tirer 2 dames. 1-1/ 15 = 14 / 15.

12. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on considère la droite (D) d'équation x -2y+4=0 et les points I(1 ,0), J(-1 ; 4) et H(0 ; 2).
A. La droit (IH) est orthogonale à (D). Vrai.
B. Les points I, J et H sont alignés. Vrai.
C. La droite (JH) est orthogonale à (D). Vrai.

D. La droite orthogonale à (D) passant par I a pour équation -x+2y+1=0. Faux.
y = ax  +b ; cette droite passe par I(1 ; 0) : 0=a+b.
Cette droite passe par H(0 ; 2). par suite b=2 et a = -2. y = -2x+2.
E. (D) est la médiatrice du segment [IJ]. Vrai.

13. Pour tous les entiers naturels n et p strictement positifs..
A. n2 pair équivaut à n pair. Vrai.
Un nombre pair s'écrit n = 2k avec k entier ; (2k)2 = 4 k2, nombre pair.
Un nombre impair s'écrit n = 2k+1 ; (2k+1)2 = 4k2 +4k+1, nombre impair.
B. n2 +p2 pair équivaut à n+p pair. Vrai.
 n2 + p2 =(n+p)2-2np = 2k  ; ( n+p)2=2(np+k) ; ( n+p)2 est donc pair.
C. Si np est impair alors n+p est impair. Faux.
np  impair équivant à n et p impairs ; n=2k+1 ; p = 2k'+1 ; n + p = 2k +2k'+2 = 2(k +k'+1), pair.
D. Si np est impair alors n2+np+p2 est impair. Vrai.
n = 2k+1 ; p = 2k'+1 ; n2 =4k2 +4k+1 ; p2 =4k'2 +4k'+1 ; n2+p2 est pair ; n2+p2 =2K ;
 np =2K'+1  ; n2+np+p2 =2K+2K'+1.
E. Si n2+np+p2  est pair alors n et p sont pairs. Vrai.
Si n et p sont pairs : (2k)2 +(2k')2 +(2k)(2k') =4(k2+k'2+kk') est pair.
Si n et p sont impairs : (2k+1)2 +(2k'+1)2 +(2k+1)(2k'+1) =4k2+4k +1 +4k'2+4k' +1 +4kk' +2k'+2k+1 est impair.
Si n=2k et p = 2k'+1 : 4k2 +(2k'+1)2 +2k(2k'+1) =4k2+4k'2+4k' +1 +4kk' +2k est impair.

14. La fonction f(x) = (ln(x))2 / x½ est strictement décroissante sur [e4 : +oo[ et que e4 ~54,598. On programme l'algorithme suivant :
Variable n entier naturel
Initialisation : n =2.
Traitement : tant que f(x) > 1
n = n+1
Fin tant que
Sortie : afficher n.
Le programme affiche 5504. On peut alors affirmer :
A. Pour tout x appartenant à ]5504 ; +oo[, f(x) > 1. Faux.
f(5504) < 1 et f(x) est strictement décroissante.
B. f(5504) < 1. Vrai.
 C. Il existe x appartenant à  [5503 ; 5504 ] tel que (ln(x))2 = x½. Vrai.
f(5503) > 1 ; f(5504) < 1 et f(x) est strictement décroissante.
D. Quand x tend vers l'infini, la limite de f(x) est inférieure à 1. Vrai .
E. Quand x tend vers l'infini, la limite de ln(x) / x½ =0.


  

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