QCM Mathématiques, logarithme népérien, intégration, géomtrie dans l'espace,lois de probabilités, concours Avenir 2017. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . Fonction logarithme népérien.   38. Dans R l’équation ln(x+3)+ln(x+2)=0 admet A : aucune solution. B : une solution. C : deux solutions. D : Aucune des réponses précédente n'est juste. x +2 doit être positif ; x+3 doit être positif  ;soit x > -2. ln((x+3)(x+2))=0 = ln 1 ; (x+3)(x+2) = 1 ; x2+5x+5=0 ; D = 52-20 = 5. seul x = (-5 +5½) / 2 convient. 39. ln (8e5)= A : 3 ln(2)+e5. B : 3 ln(2) + 5e. C : 15 ln(2e). D : 5 + 3ln(2). ln23 + ln(e5) = 3 ln2 +5. 40. La fonction f définie sur R par : f(x) = ln((1+3ex)½+e) est A : strictement croissante sur R. B : strictement décroissante sur R. C : croissante sur ]-oo ; 0] puis décroissante sur [0 ; +oo[. D : décroissante sur ]-oo ; 0] puis croissante sur [0 ; +oo[. On pose u = (1+3ex)½+e ; u' = 3(1+3ex)-½ positif. f '(x) = u ' / u = 3(1+3ex)-½ /  ((1+3ex)½+e) positive. 41.  Quand x tend vers 2+, la limite de  ln(x-2) / (6-x-x2) est  : A : moins l'infini B : zéro C : plus l'infini. D : Aucune des réponses précédentes n’est juste. (6-x-x2) = (x-2) (x-3) ; ln(x-2) / (6-x-x2) = [ ln (X) / X ] / (X-1) avec X = x-2. Quand X tend vers 0+, ln (X) / X tend vers moins l'infini et (X-1) tend vers -1. 42. Quand x tend vers plus l'infini, la limite de (1+ln(x)) / (4x) est : A : moins l'infini B : zéro C : plus l'infini D : Aucune des réponses précédentes n’est juste. Qund x tend vers plus l'infini, 1 /(4x) tend vers zéro et ln(x) / x tend vers zéro. 43. Pour tout x >0, l'équation [ln(x+2) +3 ] / x =5 est équivalente à : x = 0,5(e5x+3). B : x=e5x-5. C : x=e5x-3 -2 D : Aucune des réponses précédentes n’est exacte. ln(x+2) +3  = 5x ; ln(x+2) = 5x-3 ; x+2 = e5x-3 ; x = e5x-3-2. 44 . Soit n un nombre entier naturel, l’inéquation 5-(3 / 4)n > 3 est équivalente à : A. n < (ln(3)-ln(5)) / (ln(3)-ln(4)). B. n > ln(2) / (ln(3)-2 ln(2)). C. n > ln(2) / (ln(4)- ln(3)). D : Aucune des réponses précédentes n'est juste. (3/4)n < 2 ; n ln(3/4) < ln(2) ; n < ln(2) / (ln(3)-ln(4)) avec ln(4) = ln(22) = 2 ln(2). . . Intégrations. 45. On se place dans le plan muni d’un repère et on considère la fonction f positive de courbe représentative C, alors pour a et b réels tels que a ≤ b,  est A : l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, C, les droites d’équation y = a et y = b. B : l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, C, les droites d’équation x = a et y = b. C : l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, C, les droites d’équation y = a et x = b. D : l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, C, les droites d’équation x = a et x = b. 46.  47. Soit f une fonction continue sur R, alors : 48. Géométrie dans l'espace. Pour les questions 49 à 52 on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. 49. On considère la droite (d) passant par A(2 ; 3 ; -1)et de vecteur directeur de coordonnées (2 ; -1 : 1) alors une représentation paramétrique de (d) est : A : x = 2-t ; y = 3+2t ; z = -1+t avec t réel. B :  x = 2+2t ; y = 3-t ; z = -1+t avec t réel. C :  x = 2+2t ; y = -1+3t ; z =1-t avec t réel. D : x = 4+2t ; y = 6-t ; z = -2+t avec t réel. 50. On considère le plan P d’équation cartésienne x-2y+z+1=0 alors un repère du plan P est : 51. On considère le plan P d’équation cartésienne 2x+3y+z+2=0 et la droite (d)de représentation paramétrique x = 4-2t ; y = 1+t ; z = 2-t où t est réel, alors : A : le plan P contient la droite (d). B : le plan P ne contient pas la droite (d) et la droite est parallèle au plan . C : le plan P et la droite (d) sont sécants et non perpendiculaires. D : le plan P et la droite (d) sont perpendiculaires. Coordonnées d'un vecteur normal au plan P ; (2 ; 3 ; 1 ) Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (d) :( -2 ; 1 ; -1 ). Ces deux vecteurs ne sont ni colinéaires ni orthogonaux. 2(4-2t) +3(1+t)+2-t+2 = 0 ; 8-8t +3+3t +2-t+2 = 0 ; t = 15 / 6 = 5 / 2. La droite et le plan sont sécants. 52. On considère le plan P d’équation cartésienne x+2y-z+4=0et la droite (d) de représentation paramétrique x = 1-t ; y = t ; z = 2 où t est réel, alors(d)  coupe P au point de coordonnées A : (4 ; -3 ; 1) C : (4 ; -2 ; -4) C : (1 ; -3 ; 2) D : (4 ; -3 ; 2) 1-t +2t-2+4=0 ; t = -3. ; x=1-(-3) = 4 ; y = -3 ; z = 2. Loi de probabilités Pour les questions 53 à 55 on considère une variable aléatoire continue X, à valeurs dans [-2 ; 2] dont la densité de probabilité est représentée ci-dessous. 53 P(X ≤ 0) = A : 0 B : 0,25 C : 0,125 D : 0,5 2 *0,25 / 2 = 0,25 ( aire hachurée du triangle rectangle ) 54  P(-1,2 ≤ X≤ +1,2) A : 0,5 B : 0,6 C : 0,3 D : 0,9 55. On A : A : E(X) = 0 B : -2 ≤ E(X) < 0 C : 0 < E(X) ≤ 1,4 D : 1,4 ≤ E(X) ≤ 2 Loi Normale Pour les questions 56 et 57 on considère une variable aléatoire Y = 2X   une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.  56 : La variable Y A : est plus dispersée que X. B : est moins dispersée que X. C : a la même dispersion que X. D : on manque d’informations pour comparer les dispersions de X et Y. 57 : Le graphique ci-dessous représente la densité d’une loi normale centrée réduite. alors la densité de Y est : réponse B La loi de Y reste centrée et la courbe est plus étalée, Y est plus dispersée que X. Pour les questions 58 et 59 on considère une variable aléatoire Z qui suit une loi normale d’espérance 3 et d’écart type 2, on peut utiliser le tableau suivant : k 0,25 0,5 0,75 1 1,25 p(X < k) où X suit une loi normale centrée réduite 0,60 0,69 0,77 0,84 0,89 58.  P(Z ≤ 4 ) = A : 0,84 B : 0,69 C : 0,77 D : Aucune des réponses précédentes n’est exacte. On pose Y = (Z-3) / 2 =0,5 Z -1,5 ; Y suit la loi normale centrée réduite. P(Z < 4 ) = P(Y < (4-3) / 2 ) = P (Y < 0,5 ) =0,39 59. P(2 < Z ≤ 5 ) = A : 0,14 B : 0,29 C : 0,77 D : 0,53. On pose Y = (Z-3) / 2 =0,5 Z -1,5 ; Y suit la loi normale centrée réduite. P(2 < Z ≤ 5 ) = P( (2-3) / 2 <Y < (5-3) / 2 ) = P (-0,5 <Y < 1 ) =0,84-(1-0,69) = 0,53. Statistiques 60 : On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B (n ; p) avec n entier naturel différent de zéro et p appartenant à [0 ; 1 ]. On notef = x / n la fréquence associée à X. Alors si n est assez grand on a : A. P(f-1/n½ < p < f+1/n½ ) =0,68 B. P(f-1/n½ < p < f+1/n½ ) < 0,95 C. P(f-1/n½ < p < f+1/n½ ) > 0,95. D : aucune des réponses précédentes n’est exacte

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