Etude
d'une fonction sinus, nombres complexes, probabilités ,
Concours Marine Marchande 2012 et 2013.
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Mettre
le problème ci-dessous sous la forme d’un système d’équations puis le
résoudre.
Deux
cercles concentriques ont une différence de leurs périmètres égale à 50
m. L’aire qui n’est pas commune aux deux cercles mesure 400 m². Calculer
le rayon de chacun des cercles en arrondissant le résultat au millième.
On appelle R le rayon du grand cercle et r celui du petit cercle.
Circonférence du grand cercle : 2p
R. Circonférence du petit cercle : 2 p r.
Différence des deux périmètres : 2p(R-r)= 50 (1)
Aire du grand disque : pR2
; aire du petit disque : pr2.
Différence des aires : p(R2-r2)
=p(R+r)(R-r)=400.
(2).
par suite 25(R+r) =400 soit R+r =16 ou bien R = 16-r.
Repport dans (1) : 2p(16-2r)=
50 ; 16-2r = 7,9577 ; r =
4,021 m et R
= 16-4,021 =11,979
m.
Calculer
la longueur d’un arc d’un cercle de rayon 6 cm intercepté par un angle
de 30°.
q=30°
= p/6 ;
longueur de cet arc : qR
=3,14 /6 * 6 = 3,14 cm.
L’induction
B du champ magnétique dans l’acier doux varie en fonction de son
excitation magnétique H conformément au tableau ci-dessous :
| B (tesla) |
0 |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
| H ( A m-2) |
0 |
500 |
625 |
800 |
1100 |
1600 |
2300 |
On
considère une variation linéaire (selon une équation de droite) entre
chaque point.
Calculer
la valeur au centième de l’induction du champ magnétique correspondant
à une excitation magnétique de 1 235 A.m-1.
Soit f la fonction définie sur t appartenant à [-5/3 ; 7/3 ]
par f(t) = sin (½pt-p/6). On appelle
(C) sa courbe
représentative dans un plan muni d’un repère orthogonal d’unité 3 cm
pour l’axe des ordonnées et des abscisses.
Calculer
les valeurs de t pour que f(t) soit nulle.
sin (½pt-p/6)=0=sin ( (2k+1)p) ; ½pt-p/6= (2k+1)p ; 0,5 t -1/6 =
2k+1.
t = 4k+2+1/3 ; k=0 , t = 7/3 ; k =-1, t =-5/3.
Calculer
la dérivée de f et donner son tableau de variation.
f '(t) = ½p
cos(½pt-p/6). La dérivée
est nulle pour :
cos (½pt-p/6)=0=cos (
(2k+1)½p)
; ½pt-p/6= (2k+1)½p ; 0,5 t -1/6 =
(2k+1)0,5.
t = 2k+1 +1/3 ; k=0, t =4/3 ; k=-1, t = -2/3.
Calculer
les coordonnées du point d’intersection noté I entre la courbe C et la
droite d’équation : t = 0.
f(0) = sin (-p/6) =-0,5.
Calculer
l’équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse t = 0.
f '(0) =½p
cos(-p/6)~1,36 ; y = f '(0) x +b = 1,36 x +b.
La tangente passe par le point I ( 0 ; -0,5 ) : -0,5 = b ; y = 1,36 x
-0,5.
Construire
la courbe C et la droite T, en plaçant le point I.
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Dans un repère orthonormé on
considère les points A(1, 4) et B(5, −2).
Calculer
les coordonnées du point I, milieu de [AB].
xI = ½(xA+xB) =0,5(1+5) =3 ; yI = ½(yA+yB)
=0,5(4-2) =1.
Donner une
équation de la droite (AB).
y=ax +b ;
la droite passe en A : 4=a+b (1) ; la droite passe en B : -2=5a+b (2).
(1)-(2)
donne : 4+2=a-5a ; 6 = -4a ; a = -1,5.
par suite b
= 4-a = 4+1,5 =5,5 et y = -1,5x +5,5.
Donner
une équation de la médiatrice de [AB].
Soit M(x,y) un point de cette
médiatrice.
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Le
plan complexe est muni d’un repère orthonormé (0, i, j). On considère
les trois nombres complexes suivants :
zA = 2 - i 3½ ;
zB = - zA ; zC
=
Ecrire
sous forme algébrique les complexes zB et zC puis
placer les trois points A, B et C dans le plan complexe.
zB = -2+ i 3½
; zC =½(2 -
i 3½)(2 +
i 3½)
=½(4-3i2) = 3,5.
Calculer
les modules et arguments des complexes zBA
= zA – zB et zCA
= zA – zC.
zBA = 2-(-2) - i
3½ -i 3½
=4-2 i 3½ ;
module de zBA : (42
+(2*3½)2)½
=28½ =2*7½ ~5,29
; argument : arct( -3½/2)
= -0,713 rad ( -40,85 °).
zCA =2-3,5
- i 3½
=-1,5-2 i 3½ ;
module de zCA :
((-1,5)2 +(3½)2)½
=5,25½ ~2,29 ; argument
: arct( -3½/(-1,5))
= 0,857 rad ( 49,1 °).
Démontrer
que le triangle ABC est rectangle au point A.
L'angle A est droit : -arg zBA
+arg zCA = 40,85 +
49,1 = 89,95 ~90°.
zBC =-2-3,5
+ i 3½
=-5,5+ i 3½ ;
module de zBC :
((-5,5)2 +(3½)2)½
=33,25½ ~5,77 ;
BC2 =33,25 et AB2 + AC2
=28 +5,25 =33,25.
Soient les deux nombres complexes z1
=3+2i et z2 = -1-4i.
Mettre
sous forme a + bi les nombres complexes suivants :
z1+z2
=3+(-1) +2i+(-4i) =2-2i.
z1 z2
=(3+2i)(-1-4i) =-3-12i-2i-8i2 =5-14i.
z12=(3+2i)2=9+4i2+12i
=5+12i.
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Un équipage de seize marins comporte six
officiers et dix matelots. Quatre marins dont un officier sont des
chinois.
On
choisit, au hasard, un marin dans l’équipage. On note A l’évènement : «
le marin choisi est un officier ». On note B l’évènement : « le marin
choisi
est un chinois ».
Calculer
:
P (A) : six cas favorables sur 16 possibles ; P(A) =6/16 = 3/8 =0,375.
P (B) : quatre cas favorables sur 16 possibles ;
P(B) = 4/16 = 0,25.
la probabilité que le marin choisi soit un
officier ou un chinois ;
la probabilité que le marin choisi soit un officier chinois ou un
matelot qui n’est pas chinois.
P(C)=P(être un officier chinois) = 0,375*0,25=0,09375.
P(D)=P(être un matelot non chinois) =0,625*0,75 =0,46875.
Une
entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques de deux
types C1 et C2.
Ces câbles
proviennent de deux fournisseurs A et B.
Dans la
livraison de A, il y a 50 % de chaque type de câbles et dans la
livraison de B, il y a 20% de câbles C1. Le fournisseur A livre 2500
câbles sur un total de 5500 câbles.
Recopier
et compléter le tableau ci-contre à l’aide des renseignements précédents.
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A |
B |
Total |
| C1 |
1250 |
600 |
1850 |
| C2 |
1250 |
2400 |
3650 |
| Total |
2500 |
3000 |
5500 |
On tire un câble au hasard (tous les
câbles ont la même probabilité d’être tiré). Déterminer
la probabilité :
que ce soit un câble de type C1 : P(C1)
=1850 / 5500 =0,3364 ~0,34.
que ce soit un câble provenant du fournisseur B : P(B) =3000 / 5500
=0,5454 ~0,55.
que ce soit un câble de type C1 et qu’il
provienne du fournisseur A.
P(C1) x P(A) =0,3364*(1-0,5454) =0,153.
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La figure ci-contre est la
représentation graphique d’une fonction dérivable sur R. Les droites
T1 et T2 sont tangentes
à la courbe aux points d’abscisses 1 et 4.
Déterminer
graphiquement f (1) et f (4). Déterminer
graphiquement f ′(1) et f ′(4).
Écrire
une équation de la droite T1.
y=f '(1) x +b =-4x+b.
Cette droite passe au point de coordonnées (1 ; 5 ) : 5= -4+b ; b =9 ;
y = -4x+9.
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