Mathématiques, fonctions, bac S 2017 .

Mathématiques, fonctions , bac S 2017 .

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Liban
Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions f_k définies sur R par :
f_k(x) = x +k e^-x .
On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes C_k pour différentes valeurs de k.

Pour tout réel k strictement positif, la fonction f_k admet un minimumsur R. La valeur en laquelle
ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté A_k de la courbe C_k. Il semblerait que, pour
tout réel k strictement positif, les points A_k soient alignés. Est-ce le cas ?
f '_k =1 -ke^-x =0 ; e^x = k ; x = ln k.
f_k (ln k) = lnk +1.
Coordonnées des points A_k : (ln k ; ln k+1).
Ces points appartiennent à la droite d'équation y = x+1. Ils sont donc alignés.

Exercice 4.
L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à 40 mètres de hauteur
et vivre plus de 150 ans. L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.
Partie A -Modélisation de l’âge d’un épicéa
Pour un épicéa dont l’âge est compris entre 20 et 120 ans, on modélise la relation entre son âge (en
années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à 1,30 m du sol par la fonction f définie sur
l’intervalle ]0 ;1[ par : f (x) = 30ln((20x) / (1-x))
où x désigne le diamètre exprimé en mètre et f (x) l’âge en années.
1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;1[.
On pose u = 20 x et v = 1-x ; u' = 20 ; v' = -1 ; (u'v-v'u) /v² =(20(1-x)+20x) / (1-x)²=20 / (1-x)².
f '(x) =30 [20 / (1-x)².] / [20x) / (1-x ] =30 /((1-x)x).
x étant compris entre ]0 ;1[., f 'x) est positive sur cet intervalle ; f(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Déterminer les valeurs du diamètre x du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre 20 et 120 ans.
20 = 30 ln(20x /(1-x)) ; e^2/3 = 20x /(1-x) ; e^2/3 (1-x)= 20x.
x(20 e^-2/3+1)=1 ; x = 1 / (20 e^-2/3+1) =0,0887 ~0,09 m.
120 = 30 ln(20x /(1-x)) ; e⁴ = 20x /(1-x) ; e⁴ (1-x)= 20x.
x(20 e^-4+1)=1 ; x = 1 / (20 e^-4+1) =0,7318 ~0,74 m.
Le diamètre doit être compris entre 0,09 m et 0,73 m.

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Amérique du Nord.
Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du
mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué
de deux vantaux de largeur a telle que 0 < a < 2.
Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail.
Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur
[-2 ; 2] par : f (x) = -b / 8 (e^x/b +e^-x/b) +9/4 où b est positif.
Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives
(-a ; f(-a)),(a ; f(a)), (a ; 0) et (-a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f.
Partie A.
1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [-2 ; 2], f (-x) = f (x). Que peut-on
en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?
f(-x) =- b / 8 (e^-x/b +e^x/b) +9/4= f(x).
La courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. On appelle f ' la fonction dérivée de la fonction f .Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle
[-2 ; 2] : f '(x) = -1/8 (e^x/b-e^-x/b).
f '(x) = -b /8(1/b e^x/b +(-1/b)e^-x/b) = -1/8 (e^x/b-e^-x/b)..
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [-2 ; 2] et en déduire les
coordonnées du point S en fonction de b.
f '(x) = 0 pour e^x/b-e^-x/b=0 ; e^x/b =e^-x/b ; e^2x/b =1 soit x =0.
b étant positif, pour x compris entre -2 et 0, f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
Pour x compris entre 0 et 2, f '(x) est négative et f(x) est strictement décroissante.
Pour x=0, f(x) = (-b+9) / 4.

f(-2) =f(2)= -b/8(e^-2/b+e^2/b)+4/9.
Partie B.
La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les
valeurs de a et b.
1. Justifier que b = 1.
(9-b) / 4 = 2 ; 9-b = 8 ; b=9-8=1.
2. Montrer que l’équation f (x) = 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ;2] et en déduire
une valeur approchée de a au centième.
-1 / 8 (e^x +e^-x) +9/4 =1,5 ; -1 / 8 (e^x +e^-x) = -3/4 ; e^x +e^-x=6 ;
e^2x-6e^x+1=0. On pose X = e^x ; X²-6X+1=0
Discriminant D = 36-4=32 ; D^½~5,657.
X₁ = (6-5,657)/2~0,171 ; X₂ = (6+5,657)/2~5,829 ;
x₁ = ln(0,171)~-1,77 , hors de l'intervalle [0 ; 2].
x₂ = ln(5,829)~1,76 , compris dans l'intervalle [0 ; 2].
3. Dans cette question, on choisit a =1,8 et b = 1. Le client décide d’automatiser son portail si la
masse d’un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication
des vantaux est égale à 20 kg.m^-2. Que décide le client ?
Surface d'un vantail :

Masse d'un vantail : 20 x3,3145 ~66,3 kg, valeur supérieure à 60 kg..
Il décide d'autamatiser le portail.
Partie C.
On conserve les valeurs a = 1,8 et b= 1.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de
planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.
Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la
forme 1.
Aire OCES = 2 x1,8 =3,6 m² ; pertes de bois : 3,6 -3,3145 =0,2855 m².

Equation de la tangente : f '(1) = -1/8 (e¹-e^-1)= -0,2938.
f(1) = -1 / 8 (e¹ +e^-1) +9/4=1,864.
y = -0,294 x +b ; 1,864 = -0,2938 +b ; b =2,158.
y = -0,294 x +2,158.
OG = 2,158 ; CH = -0,2938 x1,8 +2,158 ~ 1,63.
Aire du trapèze : 1,8 x(2,158 +1,63) / 2 =3,408 m² ; perte : 3,408-3,3145 = 0,0935 m².
Economie de bois : 0,2855 -0,0935 = 0,192 m².

Centres étrangers.
La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique.
A. Administration par voie intraveineuse.
On note f(t) la concentration plasmatique ( en µg /L) du médicament , au bout de t heures après l'administration. le modèle mathématique est f(t) = 20 e^-0,1t avec t appartenant à [0 ; +oo[.
f(0) = 20 µg /L.
1. La demi-vie du médicament est la durée en heure après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale. Déterminer cette demi-vie t_½.
10 = 20 e^-0,1t½ ; ln(0,5) = -0,1 t_½ ; t_½ =10 ln 2 heures.
2. On estime que le médicament est éliminé dès que sa concentration est inférieure à 0,2 µg / L.
Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé.
0,2 = 20 exp(-0,1t) ; ln 0,01 = -0,1 t ; t = -10 ln(0,01)~46,1 heures.
3. On appelle ASC ( ou aire sous la courbe ) le nombre suivant. Vérifier que l'ASC est égal à 200 µg /L.h

B. Administration par voie orale.
On note g(t) la concentration plasmatique du médicament ( µg / L) au bout de t heures après ingestion par voie orale. Le modèle mathématique est g(t) = 20 (e^-0,1t -e^-t) avec t appartenant à [0 ; +oo[. Dans ce cas g(0) = 0.
1. Démontrer que pour tout t de cet intervalle, g'(t) = 20 e^-t(1-0,1e^0,9t).
g'(t) = 20 (-0,1 e^-0,1t +e^-t) =20 (-0,1 e^(0,9-1)t +e^-t) =20 (-0,1 e^0,9t e^-t +e^-t) =20 e^-t(1-0,1e^0,9t).
2. Etudier les variations de la fonction g(t) sur cet intervalle. En déduire la durée après laquelle la concentration est maximale ( à la minute près ).
20 e^-t est toujours positif.
g'(x) <0 si 0,1e^0,9t>1 soit t > ln(10) / 0,9 = 2,558 heures ou 2 h 34 min.
g(x) est strictement décroissante sur [ 2,558 ; +oo[
g'(x) >0 si 0,1e^0,9t<1 soit t > ln(10) / 0,9 = 2,558 heures.
g(x) est strictement croissante sur [0 ; 2,558[
g't) est nulle si t = ln(10) / 0,9.
g(t) est maximale.

C. Administration répétée par voie intraveineuse.
On décide d'injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. l'intervalle de temps entre deux injections est égal à la demi-vie du médicament.
Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de concentration plasmatique de 20 µg /L.
On note u_nn. la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la n-ième injection.
Ainsi u₁ = 20 et u_n+1 = 0,5 u_n +20.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n >1 :
u_n = 40 -40x0,5ⁿ.
Initialisation : u1 = 20 ; la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p : u_p = 40 -40x0,5^p.
u_p+1 = 0,5 u_p +20 = 20-40x0,5^p x0,5+20
u_p+1 =40 -40 0,5^p+1 . la propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire.
La propriété est vraie pour tout n >1.
2. Déterminer la limite de la suite (un) quand n tend vers l'infini.
-1 < 0,5 <1 ; par suite 0,5ⁿ tend vers zéro quand n tend vers l'infini.
La suite tend vers 40 quand n tend vers l'infini.
3. On considère que l'équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse 38 µg /L. Déterminer le nombre minimal d'injections nécessaire pour atteindre cet équilibre.
u_n = 40 -40x0,5ⁿ =38 ; 2 / 40 = 0,5ⁿ ; n = ln(0,05) / ln(0,5 )~ 4,3.
Après 5 injections, l'équilibre est atteint.

Polynésie.
On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale.
Un modèle simplifié donne la vitesse verticale de chute ( en m /s) en fonction du temps.
v(t) = 9,81 m / k (1-exp(-kt /m)).
m : masse de la goutte en mg ; k >0 coefficient lié au frottement de l'air.
A. Cas général.
1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte.
v '(t) = 9,81 m /k (-k /m)(-exp(-kt /m)) =9,81exp(-kt /m).
La dérivée étant strictement positive sur [0 ; +oo[, la vitesse est strictement croissante.
2. La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?
Non, la vitesse initiale est nulle ; la vitesse limite vaut 9,81 m /k et v(t) est strictement croissante.
3. Montrer que la vitesse limite de chute est V_lim = 9,81 m / k.
Quand t tend vers l'infini, kt / m étant positif, le terme en exponentielle tend vers zéro.
Par suite la vitesse tend vers 9,81 m / k.

4. Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à 5m /k, la vitesse de la goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?
exp(-k / m x 5m / k) = exp(--5) ; v(5m /k) = 9,81 m /k (1-e^-5) ~0,993 x9,81 m /k ~0,993 V_limite.
L'affirmation est correcte.
B. On prend m =6 et k =3,9.
A un instant donné v(t) = 15 m /s.
1. Depuis combien de temps la goutte s'est-elle détachée de son nuage ? Arrondir le résultat au dixième de seconde.
v(t) = 9,81 x 6 / 3,9 (1-exp(-3,9 t / 6)) =15,092 (1-exp(-0,65 t)) = 15 ;
.1-exp(-0,65 t) = 15 / 15,092 ~0,99389 ; exp(-0,65 t) =0,006116.
-0,65 t = ln(0,006116) = -5,0968 ; t ~7,84 s ; t ~7,8 s.
2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où est mesurée sa vitesse.

Antilles.
Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par
f(x) = e^x et g(x)= e^−x.
On note C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g celle de la fonction g dans un
repère orthonormé du plan.
Pour tout réel a, on note M le point de C_f d’abscisse a et N le point de C_g d’abscisse a.
La tangente en M à C_f coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N à C_g coupe l’axe des
abscisses en Q.
À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes
valeurs de a et on a relevé dans un tableur la longueur du segment [PQ] pour chacune de ces
valeurs de a.

1. Démontrer que la tangente en M à C_f est perpendiculaire à la tangente en N à C_g.
Coefficient directeur de la tangente à C_f en M d'abscisse a : f '(a) = e^a.
Cette tangente passe en M ( a ; e^a).
Equation de cette tangente : y = e^ax +b ; e^a = a e^a +b ; b = e^a(1-a) ; y = e^ax +e^a(1-a)
Coefficient directeur de la tangente à C_g en N d'abscisse a : g '(a) = -e^a.
Cette tangente passe en N ( a ; e^-a).
Equation de cette tangente : y = -e^-ax +b' ; e^-a = -a e^-a +b' ; b' = e^-a(1+a) ; y = -e^-ax +e^-a(1+a).

2.a. Que peut-on conjecturer pour la longueur PQ ?
PQ = 2 = constante.
b. Démontrer cette conjecture
y_P=0 ; x_P = a-1 ; y_Q=0 ; x_Q = a+1 ;
PQ = |x_Q -x_P |= |a+1-(a-1)| =2.

Métropole.
Partie A.
On considère la fonction h définie sur l’intervalle 0;+∞ par :h(x)= x e^-x.
1. Déterminer la limite de la fonction h en +∞.
Par croissance comparée, la limite de e^x /x, quand x tend vers l'infini, est égale plus l'infini.
Donc la limite de 1 / (e^x /x), quand x tend vers l'infini, est égale à zéro.
Or h(x) = x / e^x = 1 /(e^x/x); par suite la limite de h(x) en plus l'infini est égale à zéro.
2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle 0;+∞ et dresser son tableau de variations.
Calculer la dérivée h' en posant u = x et v = e^-x; u' = 1 ; v' = -e^-x.
h'(x) = u'v +v'u = e^-x-xe^-x=e^-x(1-x).
e^-xest toujours positif. Le signe de h'(x) est celui de (1-x).
Si x appartient à [0 ; 1], h'(x) est strictement positive et h(x) est strictement croissante.
Si x appartient à ]1 ; +oo [, h'(x) est strictement négative et h(x) est strictement décroissante.
Si x =1, h'(x) est nulle est h(x) présente un maximum h(1) = 1/e.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle 0;+∞ , on a :
h(x) =e^-x -h'(x).
h(x) = xe^-x ; h'(x) = e^-x-xe^-x; ajouter : h(x) + h'(x) = e^-x soit h(x) = e^-x-h'(x).
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle 0;+∞ de la fonction e^-x.
-e^-x.
c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h sur l’intervalle 0;+∞ .
H(x) = -e^-x -h(x) = -e^-x - xe^-x =- e^-x(x+1).
Partie B
On définit les fonctions f et g sur l’intervalle 0;+∞ par :
f(x) = xe^-x+ln(x +1) ; g(x) = ln(x+1).
On note C_f et C_g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle 0;+∞ , on appelle M le point de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)). M et N sont donc les points d’abscisse x
appartenant respectivement aux courbes C_f et C_g.
a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance
maximale.
MN =| g(x) - f(x) |= |ln(x+1) - xe^-x-ln(x +1)| = |-xe^-x|.
xe^-x étant positif, MN = x e^-x.
MN = h(x) ; MN est maximal pour x = 1 et vaut MN_max = e^-1.
b. Placer sur le graphique les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

Asie.
Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction C définie sur l’intervalle [0;+oo[ par :
C(t) = d /a [1-exp(-at / 80)]
C désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
t le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
a un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre a est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle « plateau » la limite en +oo de la fonction C.
Partie A : étude d’un cas particulier.
La clairance a d’un certain patient vaut 7, et on choisit un débit d égal à 84.
Dans cette partie, la fonction C est donc définie sur [0;+oo[ par :
C(t) = 12 [1-exp(-7t /80)}.
1. Étudier le sens de variation de la fonction C sur [0;+oo[ .
Calcul de la dérivée C'(t) = 12 x(7 /80 exp(-7t /80) = 21 /20 exp(-tt /80).
C'(t) est positive sur [0;+oo[ ; C(t) est strictement croissante.

2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
Le plateau est égal à 12, le traitement n'est pas efficace.

Partie B. Etude de fonctions.
1. Soit f la fonction définie sur ]0 ;+oo[ par :
f(x) = 105 / x [1-exp(-3x /40)]
Démontrer que, pour tout réel x de ]0 ;+oo[ , f '(x) =105 g(x) / x².
où g est la fonction définie sur [0;+oo[ par :
g(x) = 3x /40 exp(-3x /40) +exp(-3x /40) -1.
On pose u = [1-exp(-3x /40)] et v = x ; u' = 3/40 exp(-3x /40) et v' = 1.
f '(x) = (u'v-v'u) / v² =105 [ 3x/40 exp(-3x /40)- 1+exp(-3x /40)] /x².
2. On donne le tableau de variation de la fonction g. En déduire le sens de variation de la fonction f.
On ne demande pas les limites de la fonction f.

g(x) est négative sur ]0 ;+oo[ et 105 /x² est positif.
Donc f '(x) est négative et par suite f (x) est strictement décroissante.
3. Montrer que l’équation f (x) = 5,9 admet une unique solution sur l’intervalle [1;80].
En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle ]0 ;+oo[ .
Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.

f(1) = 105(1-exp(-3/40))~7,58 >5,9 ; f(80) = 105 /80 (1-exp(-3*2))~1,31 <5,9.
De plus la fonction f(x) est strictement décroissante sur [1 ; 80].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 5,9 admet une unique solution sur l’intervalle [1;80].

Partie C : détermination d’un traitement adéquat
Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à 15.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance a de ce patient. À cette fin, on règle provisoirement le débit d à 105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction C est définie sur l’intervalle [0;+oo[ par : C(t) = d /a [1-exp(-at / 80)]
1. On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à 105.
a) Exprimer en fonction de a la concentration du médicament 6 heures après le début de la perfusion.
C(6) = d /a [1-exp(-6a / 80)] =d /a [1-exp(-3a / 40)] = 105 /a [1-exp(-3a / 40)]
b) Au bout de 6 heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à 5,9 micromole par litre. Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
a = 8,1 micromoles par litre.
2. Déterminer la valeur du débit d de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
15 = d / 8,1 ; d = 15 x8,1 = 121,5 micromoles par heure.

Nlle Calédonie.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par
f (x) =(ln x)² / x.
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.
Quand x tend vers zéro, (lnx)² tend vers l'infini et 1 /x tend vers l'infini.
Par produit des limites, f(x) tend vers l'infini.
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.
2. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[,

.
b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +∞.
On pose t = x^½ ; ln (t ) / t tend vers zéro si t tend vers plus l'infini.
L'axe des abscisses est une asymptote à la courbe C au voisinage de +∞.
3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[,
f ′(x) =ln(x) (2−ln(x)) /x² .
On pose u =( ln x)² et v = x ; u' = 2 ln(x) / x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v² = (2 ln(x)-(ln x)²)/x²=ln x ( 2-ln x) / x².
b. Étudier le signe de f ′(x) selon les valeurs du nombre réel x strictement positif.
Le signe de f '(x) est celui de ln x .(2-ln x).
c. Calculer f (1) et f (e²).
On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.

4. Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution a sur ]0 ; +∞[ et donner un encadrement de a d’amplitude 10⁻².

f(x) est inférieure à 1 sur [1 +oo[ et ; f(x) est strictement décroissante sur ]0 ; 1[.
f(0,001) tend vers l'infini et f(1) = 0.
D'après le corrolaire du théorème des valeurs intermédaires, f(x)=1 admet une seule solution sur ]0 ; + oo[.
f(0,49) ~1,038 ; f (0,50) ~0,96 ; 0,49 < a < 0,50.

Amérique du Sud
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.
Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une jonction
Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) =(x² −2x −2−3ln x) / x.
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
ϕ(x) = x² −1+3lnx.
a. Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.
F(1) = 1²-1+3ln(1) = 0.
Quand x tend vers zéro :
x²-1 tend vers -1 et ln(x) tend vers moins l'infini. F(x) tend donc vers moins l'infini.
b. Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; +∞[.
En déduire le signe de ϕ(x) selon les valeurs de x.
La dérivée 2x +3 / x est positive sur ]0 ; +∞[.
F(x) est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
F(x) est négative sur ]0 ; 1[, nulle pour x=1 et positive sur ]1 ; +oo[.

2. a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
f (x) =x −2 −(2+3ln (x)) / x.
Quand x tend vers zéro : x-2 tend vers -2 ; (2+3ln (x)) / x tend vers moins l'infini et -(2+3ln (x)) / x tend vers plus l'infini.
Par suite f(x) tend vers plus l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini : x-2 tend vers plus l'infini ; (2+3ln (x)) / x tend vers zéro.
Par suite f(x) tend vers plus l'infini.
b. Montrer que sur ]0 ; +∞[ : f ′(x) = ϕ(x) / x² .
En déduire le tableau de variation de f .
On pose u =x² −2x −2−3ln x et v = x.
u' = 2x-2-3 / x = (2x²-2x-3) / x et v' = 1.
Dérivée d'un quotient : (u'v -v'u) / v² =[ (2x²-2x-3)-(x² −2x −2−3ln x) ] / x²=(x²-1+3ln x) / x²=F(x) / x².

c. Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0; 1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10⁻² près.
Sur ]0 ; 1], f(x) est strictement décroissante.
De plus f(1) est négatif et f(0,1) est positif.
D'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; 1].
Solution de f(x)=0, x ~ 0,41.
On admettra que l’équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 ; +∞[ avec β ≈ 3,61 à 10⁻² près.
d. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
F(x) =0,5 x² -2x -2ln(x) -1,5( ln(x))².
Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
Dériver F : F ' = 0,5 *2 x-2-2 / x-1,5*2 ln(x) / x = x-2-2 / x -3ln(x) / x = (x²-2x-2-3ln(x) ) / x = f(x).

Partie B : résolution du problème.
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10⁻² près de α et β de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons
esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm.
Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?
Aire du palet : 2 | F(ß)-F(a) |.
F(3,61) ~0,5*3,61²-2*3,61-2 ln(3,61)-1,5*(ln(3,61))² ~2 (5,743-0,142) ~11,2 unités d'aire soit 11,2 x2 =22,4 cm².
Volume du palet : 22,4 x0,5 = 11,2 cm³.
Volume de 80 palets : 896 cm³ = 0,896 L. La contrainte de rentabilité est respectée.

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