Mathématiques, QCM
, bac S 2017 .
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Centres
étrangers
Exercice
1. QCM.
On étudie la production
d'une usine qui produit des
bonbons, conditionnés en sachets.
On choisit un sachet au hasard
dans la production journalière. La masse
de ce sachet ( en g ), est modélisée par une variable aléatoire X qui
suit une loi normale d'espérance µ = 175. Une observation statistique a
montré que 2 % des sachets ont une masse inférieure ou égale à
170 g, ce qui se traduit par : P(X <170) = 0,02.
1. Quelle est la probabilité,
arrondie au centième, de l'événement " la masse d'un sachet est
comprise entre 170 et 180 g" ? 0,04 , 0,96 ; 0,98 ; on ne peut pas
répondre car il manque des données.
On pose Y = (X-175) / s
= -5 /s
avec s
l'écart type.
Y suit la loi normale centrée
réduite ; P( Y < -5 /s)=0,02.
On utilise la touche " inverse
loi normale" de la calculatrice pour
trouver : -5 /s
=
-2,054.
Par suite s = 5 /
2,054 ~2,434.
P(170< X < 180 ) =P(-2,054 < Y < 2,054) =1-0,02-0,02 = 0,96. Réponse b.
Les différents bonbons sont
enrobés d'une cire commestible. Ce procédé,
qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.
Lorsqu'il est produit par A, la probabilité qu'un bonbon prélevé
aléatoirement soit déformé est égale à 0,05.
2. Sur un
échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de A, quelle est la
probabilité, arrondie au centième, qu'au moins 2 bonbons soit déformés
? 0,72 ; 0,28 ; 0,54 ; on ne peut pas répondre car il manque des
données.
Soit Z la variable aléatoire
comptant le nombre de bonbons déformés.
n = 50 tirages aléatoires,
indépendantset identiques. deux issus
sont possibles :le bonbon est déformé p = 0,05 ; le bonbon n'est pas
déformé q = 1-p = 0,95.
La variable aléatoire Z suit
une loi binomiale de paramètre n = 50 et p
= 0,05.
Au moins deux signifie : 2 et
plus de deux.
P( Z>2) = 1-P(Z < 1) = 1-0,28 = 0,72 ; réponse a.
A produit un tiers des bonbons, B produit le reste.
Lorsqu'il est produit par B, la probabilité qu'un bonbon soit déformé
est égale à 0,02. On prélève au hasard dans la production un bonbon ;
celui-ci est déformé.
Quelle est la probabilité qu'il soit produit par B ? 0,02 ; 0,67 ; 0,44
;0,01.
Probabilité que le bonbon
déformé soit produit par B : 0,04 / 0,09 ~0,44, réponse c.
La durée de vie de
fonctionnement ( en jours), d'une machine servant à l'emballage, est
modélisée par une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle
dont l'espérance est égale à 500 jours.
4. Quelle est la
probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la
machine soit inférieure ou égale à 300 jours ? 0,45 ; 1 ; 0,55 ; on ne
peut pas répondre car il manque des données.
l
= 1/500 = 0,002.
P( X < 300) =
1-exp(-0,002 x300) = 0,45, réponse a.
L'entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de 20
ans parmi ces clients, au niveau de confiance de 95 %, avec un
intervalle d'amplitude inférieure à 0,05. Elle interroge un échantillon
aléatoire de ces clients.
5. Quel est le
nombre minimal de clients à interroger ? 40 ; 400 ; 1600 ; 20.
Au seuil de 95%, intervalle de confiance (f-1/n½ ; f +1/n½].
Amplitude : 2 / n½ = 0,05 ; n½ = 2 / 0,05= 40 ; n
= 1600, réponse c.
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....
.....
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Asie.
Pour
chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est
vraie ou fausse, en justifiant la
réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement
justifiée. Une réponse non justifiée
n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. On dispose de
deux dés, identiques d’aspect, dont l’un est truqué de sorte que le 6
apparait avec la probabilité 0,5.
. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient 6.
Affirmation 1
: la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à 2/3. Faux.
Evénement T : " le dé est truqué".
Evénement S : " on obtient 6 ".
2. Dans le plan
complexe, on considère les points M et N d’affixes respectives
zM= 2 exp(-ip/3)
et zN = (3-i) / (2+i).
Affirmation 2
: la droite (MN) est parallèle à l’axe des ordonnées. Vrai.
Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé (O;
i , j, k )
de l’espace et l’on considère la droite D dont une représentation
paramétrique est :
x = 1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
3. On considère les
points A, B et C avec A(-2;2;3), B(0;1;2) et C(4;2;0).
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 3
: la droite D est orthogonale au plan (ABC). Vrai.
4. On considère la
droite D passant
par le point D(1;4;1) et de vecteur directeur (2;1;3).
Affirmation 4 :
la droite D et la droite D
ne sont pas coplanaires. Vrai.
Les vecteurs directeurs de la droite D et de la droite D ne siont pas colinéaires.
Donc ces deux droites ne sont pas parallèles.
Ces droites sont-elles sécantes ?
Représentation paramétriques de D : x =
1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
Représentation paramétriques
de D : x = 1+2k ; y = 4+k ; z =
1+3k, k réel.
1+t = 1+2k soit t = 2k.
2 = 4+k ; k= -2. par suite t = -4
3+2t =1+3k ; 3+2(-4) =1+3(-2) ; -5 = -5 est vérifié.
Donc ces deux droites sont sécantes au point de coordonnées (-3 ; 2 ;
-5).
Par suite ces droites sont coplanaires.
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