aurélie 10 / 2003

 

Fluide de Van der Waals d'après Mines 99

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Au sein des noyaux lourds la matière nucléaire ( protons et neutrons) se comporte comme un fluide de Van der Waals ( modèle très simple). L'équation d'état d'une mole de ce fluide est (P+a/V²)(V-b)=RT. a et b sont deux constantes caractéristiques du fluide étudié. a=122 ; b=10-4 S.I . P: pression ; V: volume ; T : température.

L'énergie interne d'une mole de fluide est : U(T,V) =CvT-a/V ; Cv : capacité calorifique molaire à volume constant du fluide ; Cv est considérée comme une constante.

  1. Déterminer les unités de a et b dans le S.I.
    - Quelle est l'interprétation physique de a et b ?
    - On assimile les particules du fluide à des sphères de rayon r. Donner l'ordre de grandeur de r. NA= 6,02 1023 mol-1.
  2. Montrer que l'entropie d'une mole de fluide S(T,V) = Cv lnT+ Rln(V-b) + Cte.
  3. On réalise une transformation adiabatique réversible conduisant une mole du fluide de l'état (T0=300K ; V0= 0,02 m3 ) à l'état (T1 ; 2V0). Déterminer T1 en fonction de T0, V0, b, R et Cv.
    - On mesure expérimentalement T1=230 K; en déduire Cv.
    - Quelle est à priori la structure moléculaire des particules du fluide étudié ?
    - Déterminer le travail reçu par le fluide lors de cette transformation, en fonction de T1, T0, V0, a et Cv. Faire le calcul.
  4.  
     

    La figure ci-dessus donne un ensemble de courbes expérimentales, appelées isothermes d'Andrews ( pour une mole de fluide).
    - Comment s'appelle la courbe en pointillés rouges ?
    - Déterminer les coordonnées du point critique C ; donner les propriétés physiques de ce point.
    - Préciser l'état physique du fluide et calculer, après les avoir définis, les titres molaires xv et xl de la vapeur et du liquide dans les trois cas suivants :
    * le fluide occupe un volume égal à 0,6 L à 110°C.
    * le fluide est placé sous une pression de 110 bars à 200°C
    * le fluide occupe un volume de 0,2 L à 125 °C.
    - Que vaut le volume molaire de la vapeur saturante sèche à la pression de 40 bar ?

corrigé
unité de b : volume en m3 ;

a/V² a la dimension d'une pression ; a a la dimension de PV² soit PV * V ;

PV a la dimension d'une énergie en joule ; unité de a : Jm3 .

a/V² : pression moléculaire ; l'effet attractif entre molécules diminue la pression sur les parois.

b représente le volume propre des NA molécules ( dans une mole) assimilées à des sphères de rayon r. L'ordre de grandeur de r est :

volume d'une sphère = 4/3pr3 ; NA= 6,02 1023 molécules dans une mole

b = 4/3pr3 NA soit r3 = 3b/(4pNA)

r3 = 3*0,25 / (4*3,14 *6,02 1023 ) = 9,92 10-26 soit r =4,6 10-9 m

r est de l'ordre de grandeur du rayon de l'atome

entropie :

L'énergie interne d'une mole de fluide est : U(T,V) =CvT-a/V ;

calcul de la différentielle dU : dU= CvdT +a/V² dV

La variation d'énergie interne est la somme de la chaleur et du travail reçus par le système.

travail élémentaire et chaleur reçus lors d'une transformation élémentaire réversible :

dW= -PdV ; dQ= TdS

d'où dU= -PdV + TdS = CvdT +a/V² dV

TdS= CvdT+( P+a/V² )dV

or (P+a/V²)= RT / (V-b) d'où TdS= CvdT+RT / (V-b) dV

dS= Cv/T dT + R / (V-b) dV

par intégration on trouve l'entropie S(T,V) = Cv lnT+ Rln(V-b) + Cte.

détente adiabatique réversible :

La détente est adiabatique et réversible, donc isentropique.

S(T1,2V0) =S(T0,V0)

soit : Cv lnT0+ Rln(V0-b) =Cv lnT1+ Rln(2V0-b)

lnT1= lnT0+R/Cv ln[(V0-b)/(2V0-b)]

Cv =R[ln(V0-b)-ln(2V0-b)] / [lnT1- lnT0]

Cv =R[ln((V0-b)/(2V0-b))] / [ln(T1/T0]

Cv = 8,314 [ln((0,02-10-4) /(0,04-10-4))] / [ln(230/300)]=8,314*(-0,696) / (-0,266)=21,74 J K-1mol-1.

Cv est voisin de 2,5 R, le gaz est probablement diatomique.

travail reçu par le fluide :

dans une détente adiabatique le travail reçu est égal à la variation d'énergie interne du fluide.

W=DU = U1-U0 avec U= CvT-a/V ;

DU =Cv(T1-T0)-a[1/(2V0)-1/V0]=Cv(T1-T0)+a/(2V0)

DU = 21,74*(230-300)+122/0,04 = -1521,8 +3050=1528,2 J.

équilibre liquide vapeur :

La courbe en pointillé est la courbe de saturation. Son sommet est le point critique C. La branche gauche est la courbe d'ébullition ( apparition des premières bulles de vapeur) et la branche droite, la courbe de rosée ( apparition des premières gouttes de liquide)

PC voisin 80 bar et VC voisin 0,1 L.

Au dessous de la température critique 175 °C, l'état vapeur et l'état liquide sont distincts; à l'équilibre les deux phases sont séparées par un ménisque. Au dessus de 175°C, le liquide et la vapeur forme une phase unique, fluide hypercritique.

A : 0,06 L ; 110°C état vapeur

B : 110 bar ; 200°C état hypercritique

D : 0,2 L ; 125°C mélange liquide vapeur

fraction molaire de la vapeur : xv=0,66 ; du liquide : xl=0,34

E 40 bar ; V = 0,35 L

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