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champ et potentiel électrique physique sup
révisions lycée .. ..
cours 1	flux de vecteur - th. de Gauss
le vecteur surface S est perpendiculaire à la surface. le flux F s'exprime en Vm E en Vm-1 et S en m² th. de Gauss Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à : e0 permittivité du vide =8,85 10-12 Fm-1. qi charges intérieures à S qs charges superficielles portées par S charges (coulomb) potentiel électrique potentiel V en volt gradient d'un scalaire V: c'est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de V par rapport à x,y,z.
application 1	Champ et potentiel électrique d'une sphère chargée en volume
La sphère S de rayon R porte la charge volumique uniforme r. par raison de symétrie le champ est radial champ électrique :(point extérieur) flux envoyé à travers la sphère S de rayon r. définition du flux : F= 4pr2E th. de gauss : charge intérieure à S= charge de S =4/3 pR3r. F= 4/(3e0) pR3r E = R3r/(3e0r2) potentiel électrique : Q=charge de S ; la constante est nulle (potentiel nul si r tend vers l'infini) tout ce passe comme si la charge était concentrée au centre de la sphère point intérieur : même calcul E = rr/(3e0) ; potentiel : r/(2e0)(-r²/3+ R²)
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application 2	champ et potentiel crée par un cylindre infini
Calculer le champ et le potentiel crées par un cylindre infini, de rayon R, portant une densité volumique de charge r constante.
corrigé
flux de E à travers S. En tout point de la surface latérale S, par raison de symètrie, le champ est radial et a même module. Le flux de ce vecteur à travers la surface latérale de longueur h est E 2pxh. En tout point de S1 ou S2 le vecteur E est normale au vecteur surface : le flux de E est nul à travers les 2 bases.
charge intérieure au cylindre S de rayon x : x < r : Q=px²hr. x >= r : Q=pr²hr. th de Gauss : E 2prh = Q/e0. x < r : E= xr / (2e0) x >= r : E= r²r / (2e0x)		origine des potentiels, l'axe du cylindre potentiel électrique si x > r : V = -r²r / (2e0) ln(x) + Cte. Comment trouver la constante d'intégration ? lors de la traversée de la surface du cylindre de rayon r, V est continu. V =-r²r / (4e0) (1+2ln(x/r) )
application 3	champ et potentiel crée par un disque
Le disque est uniformément chargé en surface , s densité surfacique. Déterminer le champ et le potentiel crée en un point de l'axe du coté des charges. corrigé L'élément de surface dS du disque porte la charge dq = s dS et crée en M (OM=x) le potentiel dV champ le champ résultant est dirigé vers le disque si la charge est négative.
application 4	Un petit disque au dessus d'une sphère
Calculer la charge totale Q et la densité superficielle s d'une sphère conductrice S de rayon R=50 cm, portée au potentiel V=100 kV. Un petit disque métallique (r=1 cm, m=0,1g épaisseur négligeable) est placé au sommet de la sphère. A quel potentiel faut-il porter la sphère pour que le disque se soulève ? La sphère est portée au potentiel V1=510 kV. Le disque atteint une position d'équilibre à une hauteur z au dessus de la sphère. Calculer z. Le disque est maintenu dans la position précédente. calculer les densités superficielles des 2 faces du disque. corrigé charge (coulomb) = surface sphère (m²) fois densité superficielle(Cm-2) Q=4pR²s. potentiel V = Q / (4pe0R) = Rs /e0 d'où s = 105*8,85 10-12 /0,5 = 1,77 10-6 Cm-2 et Q= 5,56 10-6 C champ électrique et force A l'intérieur d'un conducteur en équilibre le champ est nul. A la surface d'un conducteur en équilibre le champ vaut s/e0. Au voisinage, à l'extérieur de la surface d'un conducteur , le champ E est normale à la surface, a pour valeur s/e0. Il est dirigé vers la surface si les charges sont négatives et vers l'extérieur si elles sont positives. Le disque prend une charge de densité s (charge disque q = s pr²)au contact de la sphère. Ce disque est soumis à une force F colinéaire au champ et de même sens, de valeur qE= s2 pr²/(2e0) avec s= Ve0 /R F = e0pr² V²/(2R²) Le disque se soulève dés que cette force est supérieure au poids du disque( mg). d'où la valeur limite de V : V²= 2mgR² / (e0pr²) V= 425 kV Le disque se soulève d'une hauteur h au dessus de la sphère emportant la charge s pr². Compte tenu des dimensions du disque la charge de la sphère n'est guère modifiée. La sphère crée à cette hauteur h un champ E de valeur E= 1/ (4pe0) Q/(R+z)² = RV1 / (R+z)² Le disque atteind une position d'équilibre lorsque la force électrique s pr²E est égal au poids du disque s pr²RV1 / (R+z)²= mg avec s= V1e0 /R (R+z)²= pe0V1²r² /(mg) d'où z=0,35 m les charges s' : densité surfacique face supérieure s'' : densité surfacique face supérieure s' s + s'' s = s s s' + s'' = s =V1e0 /R (1) les champs en O E1 : du aux charges inférieures du disque mince : s' /(2e0) E2 : du aux charges de la sphère : RV1 / (R+z)² E3 : du aux charges supérieures du disque mince : s'' /(2e0) à l'intérieur du disque , le champ est nul: (-s'' + s')/(2e0) + RV1 / (R+z)² =0 (2) résoudre le système de deux équations. s'' = 7,44 mCm-2. s'= 1,58 mCm-2.
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