Aurélie 01/02
climatisation d'un local

d'après concours Mines Alès 98

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 On étudie la climatisation d'un local destiné à recevoir du public.

évaluation de la puissance de l'installation :

Le local a un volume V=300 m3 , on souhaite y maintenir une température t1 = 20°C (293 K). L'étude est réalisée dans des conditions extrêmes où l'air extérieur est à la température t2 = 40°C. La pression de l'air est la même à l'intérieur et à l'extérieur du local, soit P= 105 Pa = 1 bar.

Ventilation : on fixe généralement le taux de renouvellement égal à 1, c'est-à-dire qu'en une heure, il faut renouveler en totalité l'air de la pièce.

  1. Calculer la masse d'air qui doit pénétrer en une heure dans le local. On supposera que l'air est un gaz parfait, de masse molaire M=29 g/mol ; R=8,32 J.K-1mol-1 .
  2. Calculer le transfert thermique Q reçu par cette masse d'air pour passer de la température t2 à la température t1 . En déduire la puissance thermique correspondante (transfert thermique par unité de temps). On donne la capacité thermique massique de l'air à pression constante : Cp =1000 J.kg-1 K-1 .
  3. Fuites thermiques : l'air du local étant à 20° C, l'air extérieur à 40° C, on constate qu'en l'absence de climatisation et de ventilation, la température du local passe à 21° C en 10 minutes. Par un calcul simple, donner un ordre de grandeur de la puissance thermique correspondant aux fuites thermiques.
  4. Bilan : quelle doit être la puissance thermique extraite par le système de climatisation ? Dans la suite, on prendra cette puissance égale à Pth = 3 kW.

Système de refroidissement :

On envisage une machine frigorifique à gaz parfait dont on donne le schéma de principe sur la figure ci-dessous.

Le fluide qui décrit le cycle est de l'hélium pour lequel :M = 4 g/mol et g = Cp /Cv = 5/3.

Le fluide traverse successivement :

- un compresseur (C) où le fluide subit une compression adiabatique réversible qui l'amène de A (T1, P1) à B (T3, P2)

- un échangeur (E ) où le transfert thermique entre le fluide et la source chaude est Q2, ce qui amène le fluide au point E (T2, P2)

- un détendeur (D) où le fluide se détend de façon adiabatique réversible, ce qui l'amène en F (T4, P1)

- un échangeur (E ) où le transfert thermique entre le fluide et la source froide est Q1, ce qui ramène le fluide au point A (T1, P1).

On donne : T1 = 293 K ; T2 = 313 K ; P1 = 2bar ; P2 = 3 bar.

Tous les calculs sont rapportés à 1 kg d'hélium.

  1. Calculer pour l'hélium la capacité thermique massique Cp .
  2. Calculer les températures T3 et T4.
  3. Calculer les volumes massiques VA,VB, VE et VF .
  4. Donner l'allure du diagramme du cycle en coordonnées (P, V) . On fera apparaître les isothermes T1 et T2 . Préciser le sens de parcours du cycle et conclure.
  5. Calculer les transferts thermiques Q1 et Q2 reçus par l'hélium lors de la traversée des échangeurs E1 et E2 . En déduire le travail W reçu par l'hélium lors de la traversée du compresseur.
  6. Définir et calculer l'efficacité de l'installation.
  7. Calculer la masse d'hélium qui doit, par seconde, décrire le cycle afin d'obtenir la puissance nécessaire au refroidissement du local, soit 3 kW.
  8. Calculer la puissance minimale du moteur qui actionne le compresseur.
     
corrigé
loi des gaz parfaits : PV = nRT

P pression en pascal; V volume en m3; T température en K ; masse loalire 0,029 kg/mol

n = 105*300/(8,32*293) = 1,232 104 mol

masse m= 1,232 104 *0,029 = 357 kg.

Lors d'une transformation isobare, on choisit les variables P et T pour exprimer Q.

pendant 1 heure Q = mCp(T1-T2)

Q= 357 *1000*(393-313) = -7,14 106 J = -7,14 MJ ;

or la puissance (W)est égale à l'énergie (J) divisée par le temps (s)

P= -7,14 106 / 3600 = -1,98 103 W = -1,98 kW.

puissance thermique correspondant aux fuites thermiques :

357 *1000 *(293-294) / 600 = -595 W

Puissance extraite par le système de climatisation : -1,98 + 0,595 = -2,575 kW.

système de refroidissement :

La capacité molaire d'un gaz monoatomique est (à pression constante) : Cp (molaire) =2,5 R. Dans le cas de l'hélium (M= 4 10-3 kg/mol) la capacité massique est : 2,5 *8,32 / 410-3 = 5200 J kg-1.

compression et détente adiabatiques :

T3 = 293 (3 / 2) 0,4 = 344,6 K.

T4 = 313 (2 / 3) 0,4 = 266,1 K.

Les volumes sont calculés en utilisant la loi des gaz parfaits : n = 1000 / 4 = 250 mol hélium

VA = nRT1/P1 = 250*8,32*293 / 2 105 = 3,05 m3.

VB = nRT3/P2 = 250*8,32*344,6 / 3 105 = 2,39 m3.

VE = nRT2/P2 = 250*8,32*313 / 3 105 = 2,17 m3.

VF = nRT4/P1 = 250*8,32*266,1 / 2 105 = 2,77 m3.

au cours d'un cycle le fluide reçoit le travail W , prend la chaleur Q1 à la source froide (local à climatisé) et céde la chaleur Q2 à l'extérieur, source chaude.

Pour 1 kg d'hélium :

Q1 = Cp(T1-T4) = 5200 ( 293 - 266,1) = 139,9 kJ kg-1.

Q2 = Cp(T2-T3) = 5200(313-344,6 )= -164,3 kJ kg-1.

travail du compresseur : W

Au cours de ce cycle l'énergie interne du fluide est nulle :Q1 + Q2 + W = 0

W = -139,9 -(-164,3 ) = 24,4 kJ kg-1.

efficacité = énergie thermique enlevée à la source froide divisée par le travail investi.

ce n'est donc pas un rendement

efficacité notée e = Q1 / W = 139,9 / 24,4 = 5,81.

masse du fluide (pour une seconde) :

puissance (W) = énergie (J) / durée (s) = 3000.

Q1 = 139,9 103 J pour 1 kg d'hélium

soit 139,9 103 * masse héhlium = 3000

masse = 2,14 10-2 kg s-1.

La puissance minimale du moteur correspond au fonctionnement réversible (efficacité maximale):

3000 / 5,81 = 516 W = 0,516 kW.

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