Aurélie 02/02
cycle décrit par un gaz parfait : rendement

BTS

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Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes :

état (1) à état (2) compression adiabatique

état (2) à état (3) dilatation à pression constante

état (3) à état (4) détente adiabatique

état (4) à état (1) refroidissement à volume constant

Chaque état est défini par la pression Pi, la température Ti et le volume Vi (i variant de 1 à 4).

On appelle g le rapport des chaleurs molaires Cp/Cv. On définit a = V1/V2 et b = V4/V3.

  1. Représenter sommairement le cycle sur un diagramme de Clapeyron.
    - Donner les expressions de la pression, du volume et de la température pour les états (2), (3) et (4), en fonction de P1,V1,T1, a et b.
    - Calculer numériquement ces valeurs.
  2. Calculer les travaux et chaleurs échangés pour toutes les transformations subies. Préciser notamment le sens des échanges.
  3. Proposer une expression pour le rendement h d'un moteur fonctionnant suivant ce cycle, en fonction des travaux et chaleurs échangés.
    - Donner l'expression du rendement     h en fonction de g, a et b.
    - Calculer     h et vérifier le valeur trouvée.

Données : g = 1,4 ; P1 = 1,0.105 Pa ; a = 9 ; T1 = 300 K ; b = 3 ; Cv = 20,8 J/K/mol

corrigé

compression adiabatique :

P1V1g = P2V2g soit P2 =P1(V1/ V2)g = P1a g .

P2 = 105 *91,4 = 2,167 106 Pa.

V1/ V2 = a d'où V2 = V1/ a

avec P1V1 = RT1soit V1 = 8,31 *300 / 105 = 0,025 m3.

et V2 = RT1 / (aP1) = 0,025 /9 = 2, 77 10-3 m3.

P2V2 = RT2 soit T2 = P1a g RT1 / (aRP1)

T2 = a g-1T1 = 90,4 *300 = 722,4 K.

dilatation à P= Cte :

P3 = P2 ; V3 = 8,33 10-3 m3 ( calcul ci dessous)

P3V3 = RT3 d'où T3 =P2V3 / R = P1a g V1 / (Rb)

T3 =105*91,4*0,025 / (8,3*3) = 2176 K.

détente adiabatique :

P3V3g = P4V4g soit P4 =P3(V3/ V4)g = P3/ b g=P1(a/b) g

P4 = 105 *31,4 = 4,65 105 Pa.

V4 / V3 = b d'où V3 = V4 / b = V1 / b = 0,025 / 3 = 8,33 10-3 m3

avec P4V4 = RT4 soit T4 = P4V1 / R = P1(a/b) g V1 / R.

T4 = 105*31,4 *0,025 /8,31 = 1402 K.

travail et chaleur échangés (1) --> (2) :

adiabatique, donc pas d'échange de chaleur avec l'extérieur

travail : W12 = (P2V2 -P1V1) / (g-1)

W12 = (21,67 105*2,77 10-3 - 105*0,025) / 0,4 = 8 756 J. ( reçu)

travail et chaleur échangés (2) --> (3) :

pression constante donc W23 = -P2 (V3-V2)

W23 = -21,67 105 (8,33 - 2,77)10-3 = - 12 048 J ( cédé à l'extérieur)

variation d'énergie interne du gaz Cv (T3-T2 )

DU = 20,8 ( 2176-722,4) = 30 235 J

Q23 = DU-W23 = 30 235 - (-12 048) = 42283 J (reçu)

travail et chaleur échangés (3) --> (4) :

adiabatique, donc pas d'échange de chaleur avec l'extérieur

travail : W34 = (P4V4 -P3V3) / (g-1)

W34 = (4,65 105*25 10-3 - 21,67 105*8,33 10-3) / 0,4 = -16 065 J. ( perdu)

travail et chaleur échangés (4) --> (1) :

volume constant donc W41 = 0

la chaleur échangée est égale à la variation d'énergie interne du gaz

Q41 = Cv(T1-T4)

Q41 = 20,8 (300-1402) = -22 922 J. ( cédé à l'extérieur)

rendement :

il représente le taux de conversion en travail de l'énergie thermique reçue.

énergie thermique reçue = 42 283 J

travail fourni - travail reçu : -16065 -12048 + 8756 = - 19357 J

rendement = - (- 19357 )/ 42 283 = 0,46.

autre méthode : 1 + Q2 / Q1 avec

Q1 chaleur reçue et Q2 chaleur cédée.

1 + (-22 921) / 42 283 = 1 - 0,54 = 0,46.

 

 

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