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Le cycle comprend une isotherme AB, une adiabatique CA, une isochoreBC. La masse de gaz est constante. ![]()
corrigé La variation d'entropie DS est nulle sur le cycle. la variation d'entropie est égale à la somme de l'entropie échangée et de l'entropie crée : DS = S éch + S crée. or S crée est positive ou nulle ; donc S éch est négative ou nulle or S éch = Q / T donc Q négatif ou nulle. La variation d'énergie interne est nulle sur le cycle. DU = Q + W =0 Q étant négatif alors le travail W est positif. conclusion : une seule source de chaleur étant disponible, alors le système: - céde un transfert thermique vers l'extérieur Q <=0 - reçoit du travail W>=0 c'est un récepteur.
Au point A : TA = PA VA / (nR)= 106 * 8 10-5 /(3,45 10-2 *8,32) =279 K. la transformation AB étant une isotherme alors TB = 279 K. Au point C : pour une transformation adiabatique réversible : PA VA g =PC VC g . VC g = PA / PC VA g = 10 (8 10-5)1,4 soit VC = 10 1/1,4 *8 10-5 = 4,14 10-4 m3. la transformation BC étant une isochore alors VB = 4,14 10-4 m3. TC = PC VC / (nR)= 105 * 4,14 10-4 /(3,45 10-2 *8,32) =144,2 K. Au point B : la transformation AB est une isotherme PA VA = PB VB. PB
=PA VA / VB =
106 * 8 10-5 / 4,14 10-4 =
1,93
105 Pa.
WA-->B = -3,45 10-2 *8,32 *279 ln(41,4 / 8) = -132 J. au cours de la transformation BC isochore, le volume reste constant : le travail est nul. au cours de la transformation adiabatique CA, pas déchange de chaleur avec l'extérieur, le travail mis en oeuvre est égal à la variation d'énergie interne du gaz. WC-->A = DU = nCv(TA-TC) = n R /(g -1)(TA-TC) WC-->A =3,45 10-2 *8,32 / 0,4 *(279-144,2)= 98 J. travail
total sur le cycle : -34
J.
la température est constante, alors la variation d'énergie interne est nulle. DU = WA-->B +QAB = 0 QAB = -WA-->B =132 J. au cours de la transformation adiabatique CA pas de transfert thermique. au cours de la transformation BC isochore, le volume reste constant : le travail est nul. DU = QBC = nCv(TC-TB) = n R /(g -1)(TC-TB) QBC = 3,45 10-2 *8,32 / 0,4 *(144,2-279)= -98 J. soit Q total = +34 J. |
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Deux sources de chaleur sont nécessaires pour réaliser réversiblement un cycle composé de deux isothermes AB et CD et deux isochores BC et DA. La masse de gaz est identique à celle de la première partie. ![]()
corrigé isotherme AB : la température étant constante, la variation d'énergie interne est nulle DU = Q + W =0 soit Q = -W travail élémentaire des forces de pression : dW = -PdV PV = nRT1 donne PdV + VdP = 0 soit dW = VdP = nRT1 / P dP = nRT1 d ln P travail W A-->B = nRT1 ln(PB /PA) QA-->B = nRT1 ln(PA /PB) positif car PA >PB de même sur l'isotherme CD :
Q C-->D =
nRT2 ln(PC /PD)
négatif car
PC <PD
le travail des forces de pression est nul et la variation d'énergie interne du gaz est égale à QB-->C DU = QB-->C = nCv(TC-TB) = n R /(g -1)(T2-T1) négative car T2<T1 de même sur l'isochore DA : DU
= QD-->A =
nCv(TD-TA)
= n R
/(g
-1)(T1-T2)
positive car
T2<T1
Q1 = nRT1 ln(PA /PB) + n R /(g -1)(T1-T2). transfert Q2 négatif : Q2 =nRT2 ln(PC /PD) + n R /(g -1)(T2-T1) rendement : la variation d'énergie interne est nulle sur le cycle donc W +Q1 + Q2 = 0 h= -W/ Q1 = (Q1 + Q2 )/ Q1 = 1 + Q2/ Q1 h = 1+ [T2 ln(PC /PD) + 1 /(g -1)(T2-T1)] / [T1 ln(PA /PB) + 1 /(g -1)(T1-T2)] or PD = nRT2/ VA et PA / PB = VB / VA =VC / VD = nRT2/ (PCVA) h = 1+ [T2 ln(PCVA /(nRT2)) + 1 /(g -1)(T2-T1)] / [T1 ln(nRT2/ (PCVA)) + 1 /(g -1)(T1-T2)]. h = 1+a T2/T1 avec a = ln(PCVA /(nRT2)) + 1 /(g -1)(1-T1/T2)] / [ ln(nRT2/ (PCVA)) + 1 /(g -1)(1-T2/T1)]. le rendement du cycle de Carnot est : hcarnot = 1 - T2 / T1. si a est inférieur ou égal à -1 alors h <= hcarnot . a est-il bien inférieur à -1? ln(PCVA /(nRT2)) + 1 /(g -1)(1-T1/T2)] <= -[ ln(nRT2/ (PCVA)) + 1 /(g -1)(1-T2/T1)]. 1-T1/T2<= -1+T2/T1 soit 2 <=T2/T1 +T1/T2 soit (T1-T2 )>0 vrai.
T1 = 8 10-5*4 106/(8,32*3,4510-2) = 1114,8 K. PA /PB=0,0345*8,32*300 / 8 = 10,76 Q1 = 3,45 10-2 *8,32[1114,8 ln 10,76 + 1 /0,4 *(1114,8-300)] = 1345 J. Q2 = 3,45 10-2 *8,32 [300 ln(1/10,76) + 1 /0,4(300-1114,8)]= -789 J. h= 1- 789 / 1345 = 0,41. hcarnot= 1 -300/1114,8 = 0,73.
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